Комплексная аналитичность и компактификация

[bayak]

Пусть у нас имеется многообразие $\mathbb{R}^4=(x_1,y_1,x_2,y_2)\sim \mathbb{C}^2=(x_1+iy_1,x_2+iy_2)$, которое мы деформируем так, чтобы новые пары координатных функций $(x'_1,y'_1)$ и $(x'_2,y'_2)$ удовлетворяли условию Коши-Римана. Тогда деформация:

$\begin{equation*} x'_1=\frac{1}{2}\ln (x_1^2+y_1^2),\end{equation*} $

$\begin{equation*} y'_1=\arctg \frac{y_1}{x_1} \end{equation*} $

$\begin{equation*} x'_2=\frac{1}{2}\ln (x_2^2+y_2^2),\end{equation*} $

$\begin{equation*} y'_2=\arctg \frac{y_2}{x_2} \end{equation*} $

превращает наше многообразие $\mathbb{R}^4$ в произведение двух цилиндров, и тем самым происходит его компактификация.
В свою очередь, если мы воспользуемся деформацией:

$\begin{equation*} x'_1=x=\frac{1}{2}\ln (x_{1}^{2}-y_{1}^{2}),\end{equation*} $

$\begin{equation*} y'_1=p_{x}=\frac{1}{2}\ln \frac{x_1 + y_1}{x_1 - y_1} \end{equation*} $

$\begin{equation*} x'_2=t=\frac{1}{2}\ln (x_{2}^{2}-y_{2}^{2}),\end{equation*} $

$\begin{equation*} y'_2=p_{t}=\frac{1}{2}\ln \frac{x_2 + y_2}{x_2 - y_2} \end{equation*} $

то компактификации координат не происходит. Однако могло случиться и так, что в многообразии $\mathbb{R}^4$ координаты $(x_1+y_1)$ и $(x_2+y_2)$ были предварительно компактифицированы, и тогда мы можем считать что новые координаты $(x,p_x,t,p_t)$ заданы на произведении цилиндров. Пусть теперь нас интересует функция $u(x,t,p_x,p_t)$, которая как и всякая координатная функция удовлетворяет системе уравнений Лапласа:
$\begin{equation*} \Delta_{i}= \frac{\partial^2 u}{\partial x^{2}_{i}} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^{2}_{i}} = 0, \end{equation*} $
или

$\begin{equation*} \Delta_1 + \Delta_2=0,\end{equation*} $

$\begin{equation*} \Delta_1 - \Delta_2=0 \end{equation*} $

Насколько я понимаю, вид этих уранений не изменится если мы будем дифференцировать по $x,t,p_x,p_t$. А можно ли функции $u$ найти какую-то физическую интерпретацию? Например, если почти всюду $u=t$, то какие тут могут быть частицеподобные решения?

[alcoholist]

bayak в сообщении #808080 писал(а):

превращает наше многообразие $\mathbb{R}^4$ в произведение двух цилиндров, и тем самым происходит его компактификация.

что такое цилиндр? $S^1\times [0,1]$?

[Vince Diesel]

bayak в сообщении #808080 писал(а):

Тогда деформация:

$\begin{equation*} x'_1=\frac{1}{2}\ln (x_1^2+y_1^2),\end{equation*} $

$\begin{equation*} y'_1=\arctg \frac{y_1}{x_1} \end{equation*} $

$\begin{equation*} x'_2=\frac{1}{2}\ln (x_2^2+y_2^2),\end{equation*} $

$\begin{equation*} y'_2=\arctg \frac{y_2}{x_2} \end{equation*} $

превращает наше многообразие $\mathbb{R}^4$ в произведение двух цилиндров, и тем самым происходит его компактификация.

Уже что-то странное. При таком отображении началу координат ничего не соответствует. А получающийся цилиндр (по метрике, перенесенной из прообраза) компактным не будет.

[bayak]

Vince Diesel в сообщении #808090 писал(а):

Уже что-то странное. При таком отображении началу координат ничего не соответствует. А получающийся цилиндр (по метрике, перенесенной из прообраза) компактным не будет.

Здесь имелось в виду лишь то, что $x'\in \mathbb{R}$ а $y'\in S^1$. Да, и метрику переносить не надо.

alcoholist в сообщении #808089 писал(а):

что такое цилиндр?

То, что я написал выше.

[alcoholist]

bayak в сообщении #808150 писал(а):

То, что я написал выше.

Вы так и не сказали, что в Вашем понимании цилиндр))) Математики называют цилиндром любое прямое произведение $M\times I$, чем бы ни было $M$, а Вы что имеете ввиду?

[bayak]

alcoholist в сообщении #808279 писал(а):

bayak в сообщении #808150 писал(а):

То, что я написал выше.

Вы так и не сказали, что в Вашем понимании цилиндр))) Математики называют цилиндром любое прямое произведение $M\times I$, чем бы ни было $M$, а Вы что имеете ввиду?

Тогда прошу извинить меня за терминологическую путаницу. Я то по наивности думал, что $\mathbb{R}\times S^1$ у математиков называется цилиндром.

[Vince Diesel]

bayak в сообщении #808080 писал(а):

превращает наше многообразие $\mathbb{R}^4$ в произведение двух цилиндров, и тем самым происходит его компактификация.

Во что переходит начало координат при этом отображении? Что значит тем самым? Какая метрика рассматривается (в которой цилиндр $\mathbb{R}\times S^1$ компактен)?

Или тут имеется "компактификация" одного измерения? Ну стоит так и писать.

[bayak]

Попробуем теперь намотать многообразие $\mathbb{R}^4$ на трёхмерную сферу $S^3$.
Пусть даны координаты $z_j=x_j+iy_j$, из которых мы вычисляем координаты северного полюса сферы $\left(\frac{z_1}{|z|},\frac{z_2}{|z|}\right)$, где $|z|=\sqrt{z_1\bar{z}_1+z_2\bar{z}_2}$, а угловые координаты экватора $\varphi$ вычислим по формуле $\varphi=p_{x}x-p_{t}t$. Тогда "скрещивая" волновую функцию и спинор, можно получить конструкцию:

$\psi_1=\frac{z_1}{|z|}e^{i\varphi},$
$\psi_2=\frac{z_2}{|z|}e^{i\varphi},$

которая и позволит нам отобразить $\mathbb{R}^4$ на $S^3$.

-- Чт янв 02, 2014 12:36:06 --

Vince Diesel в сообщении #808589 писал(а):

Или тут имеется "компактификация" одного измерения? Ну стоит так и писать.

И тут прокол. Действительно, имелась в виду компактификация одного измерения.

[Vince Diesel]

bayak в сообщении #808080 писал(а):

превращает наше многообразие $\mathbb{R}^4$ в произведение двух цилиндров

Начало координат ни во что не переходит, так что отображние не $\mathbb R^4$ в произведение цилиндров, а $\mathbb R^4\backslash \{0\}$. Плоскость не гомеоморфна цилиндру, а плоскость с выколотой точкой да. Так что непрерывное отображение плоскость в цилиндр не "превращает".

[bayak]

Vince Diesel
Полностью с Вами согласен. Всё это подразумевалось. Тем не менее, извините за неаккуратность. Кстати в последнем пассаже также ляп - там $\mathbb{R}^4$ наматывается на экватор сферы, а не на сферу.

[shwedka]

bayak в сообщении #808080 писал(а):

$$\begin{equation*} x'_1=\frac{1}{2}\ln (x_1^2+y_1^2),\end{equation*} $ $\begin{equation*} y'_1=\arctg \frac{y_1}{x_1} \end{equation*} $ $\begin{equation*} x'_2=\frac{1}{2}\ln (x_2^2+y_2^2),\end{equation*} $ $\begin{equation*} y'_2=\arctg \frac{y_2}{x_2} \end{equation*} $$

И еще ляп!
При $ x_1=0$ или $x_2=0$ Вы на ноль делите,
и потому отображение получается ненепрерывным или неоднозначным, как, в общем, и всегда происходит при переходе к полярным координатам

[bayak]

shwedka, а обратную тригонометрическую функцию от бесконечности не запрещено вычислять?

[shwedka]

bayak в сообщении #808747 писал(а):

shwedka, а обратную тригонометрическую функцию от бесконечности не запрещено вычислять?

запрещено.
Бесконечность - это не число.
Более того, пределы арктангенса в плюс и минус бесконечности различны.

[bayak]

Всем спасибо за участие в обсуждении. Если вам интересно, то в результате дальнейшего размышления над темой, выкристализовалась статья "Алгебра линейных векторных полей".