Непрерывность оператора из \ell^p в \ell^p.

[seryrzu]

Здравствуйте,

Необходимо проверить: непрерывен ли оператор $T : \ell^p \mapsto \ell^p, \ T(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}) = \{b_n\}_{n=1}^{\infty}, \ b_n = \sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac{a_k}{k}?$

Я выполнил стандартную оценку $\|Ta\|_{\ell^p}$ с помощью нер-ва Гёльдера. В оценке получился гармонический ряд:

$$\|Ta\|_{\ell^p}^p = \|a\|_{\ell^p}^p \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

Я попытался придумать контрпримеры, но их рассмотрение лишь подталкивает к мысли, что оператор таки непрерывен.

1) Фиксируем $s \in \mathbb{R}, \ s > 1 + p$. Рассмотрим $a_k = k^{1 - \frac{s}{p}} \ (\forall k \in \mathbb{N})$.
Тогда

$$ \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k^p = \sum\limits_{k=1}^{\infty} k^{p - s}. $$

В силу выбора $s$ последний ряд сходится. А значит $a \overset{\mathrm{def}}{=} \{a_k\} \in \ell^p$.

$$ \|Ta\|^p = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\sum\limits_{k=n}^{\infty} k^{1 - \frac{s}{p} - 1}\right)^p. $$

Но последний ряд, как легко видеть, сходится.

2) Попробовал конструировать гармонический ряд из $b_n$, но это тоже не привело к результату.
Сконструируем такую последовательность $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}$, что $\frac{1}{n} = \left(\sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac{a_k}{k}\right)^p$.

Получаем, что

$$ a_n = n \cdot \left(n^{-\frac{1}{p}} - (n+1)^{-\frac{1}{p}}\right). $$

Необходимо проверить, что $a \overset{\mathrm{def}}{=} \{a_k\} \in \ell^p$, то есть то, что
ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^p$ будет сходится. А это, кажется, верно только при $p < 1$, что, конечно, никуда не годится.

Тест Шура тут тоже не применить, по крайней мере неочевидно, как и куда задачу редуцировать предварительно.

В настоящее время есть идея разбить в определении оператора в знаменателе $k$ на $k^{\alpha}$ и $k^{1-\alpha}$, но пока внятного результата нет.

Можно ли получить, какое-то указание?

[Dan B-Yallay]

Для $p=\infty$ беру $x=(1,1,1,1,1,1, ....) \in l^\infty$. Пытаюсь применить оператор ....

[seryrzu]

Ага, со случаем $p = \infty$ ясно, но как быть с конечными $p$.

[sup]

Вам знакомо неравенство Харди (для функций из $L_p(0, \infty)$)?
Можно действовать аналогично.

[seryrzu]

Нет, к сожалению, не знаком. Нужно почитать.

[sup]

Почитайте. В любом случае полезно. Но конкретно для данной задачи предлагаю рассмотреть ряд
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}n(b_n^p - b_{n+1}^p)$
при условии $a_n \geqslant 0$. Общий случай рассмотрите после этого.