Неравенство Бесселя

[ewert]

brat2 в сообщении #807968 писал(а):

у нас просто было определение базиса, что это ортонормированная система, по которой любой вектор разлагается в ряд. значит, если не базис, существует вектор, не разлагающийся в такой ряд, и для него будет неравенство. я тут ничего не упустил?

Не знаю, упустили или нет; тут логические цепочки могут выстраиваться по-разному. А ключевой момент тут примерно такой. Есть неравенство Бесселя (и оно свято, т.е. выполнено при всех мыслимых условиях). И вот потом оно то ли всегда превращается в равенство (соотв, Парсеваля) -- то ли не всегда. И вот если всегда -- то система и называется полной (ну или базисом, это уж как угодно).

Конечно, для всего этого необходима логическая связка: что превращение неравенства в равенство эквивалентно сходимости по норме любого ряда Фурье. Но это уж чисто технический вопрос. Ключевой момент тут -- критерий типа Коши: сходимость равносильна малости хвостов ряда. Для которого, в свою очередь, необходима полнота пространства. Которая всегда в этом месте и подразумевается.

[brat2]

Спасибо за подробное объяснение.
С технической стороной труднее всего, ну, буду разбираться)
Единственное, хотел спросить - правильно ли я понял, что сказанное Вами про малость хвостов ряда означает, что норма вектора как бы "набирается" на первых базисных векторах, а чем больше номер базисного вектора, тем меньший "вклад" он делает в норму (тем меньше скалярное произведение вектора с ним), или я тут заблуждаюсь?

[ewert]

Лучше и не пытайтесь меня понять, я там что-то лишнее наговорил. Точнее, те слова нужны для обоснования того факта, что ряд Фурье всегда хоть к чему-то, да сходится; к Вашему же вопросу они отношения не имеют, тут всё гораздо конкретнее. Очень легко, в лоб проверяется тождество:

$c_k=(x,e_k)\quad \Rightarrow\quad \left\|x-\sum\limits_{k=1}^nc_ke_k\right\|^2=\|x\|^2-\sum\limits_{k=1}^n|c_k|^2.$

Отсюда следует, во-первых, неравенство Бесселя (поскольку левая часть неотрицательна). А во-вторых, отсюда сходимость ряда Фурье именно к раскладываемому элементу (т.е. стремление к нулю левой части) равносильна равенству Парсеваля (т.е. сходимости к нулю правой части). Остаётся выяснить, почему сходимость ряда Фурье именно равносильна принадлежности икса замыканию линейной оболочки. В одну сторону это тривиально: предел по норме частичных сумм ряда, естественно, этому замыканию принадлежит. В обратную -- надо произнести одно дополнительное заклинание (вполне стандартное). Известно, что частичные суммы ряда Фурье дают наилучшее приближение к линейной оболочке, т.е. что

$\left\|x-\sum\limits_{k=1}^nc_ke_k\right\|^2\leqslant\left\|x-\sum\limits_{k=1}^n\alpha_ke_k\right\|^2\quad(\forall\,\{\alpha_k\}).$

И если икс принадлежит замыканию линейной оболочки, т.е. сколь угодно точно приближается конечными линейными комбинациями, то он тем более сколь угодно точно приближается частичными суммами ряда Фурье, т.е. ряд Фурье сходится именно к нему.