Уравнеие перпендикулярной прямой

[u100]

Уравнение прямой в общем виде

$Ax+By+C=0$

Каноническое уравнение прямой, перпендикулярной данной будет иметь вид:

$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}$

Почему это так? Почему координаты нормального вектора прямой будут $(A;B)$?

[svv]

$\dfrac{x-x_0}{a_x}=\dfrac{y-y_0}{a_y}$
Равны? Значит, равны некоторому числу $t$:
$\dfrac{x-x_0}{a_x}=\dfrac{y-y_0}{a_y}=t$

Значит,
$\begin{cases}x(t)=x_0+a_x t\\y(t)=y_0+a_y t\end{cases}$

Значит,
$\mathbf r(t)=\mathbf r_0+\mathbf a t$

-- Вс дек 29, 2013 00:44:52 --

Я не на тот вопрос отвечал. Вот ответ на тот вопрос.
$Ax+By+C=0$
Пусть известно, что точка $(x_0, y_0)$ лежит на прямой, тогда
$Ax_0+By_0+C=0$
Вычитая эти уравнения, исключим $C$:
$A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$
Это скалярное произведение двух векторов: $\mathbf n(A,B)$ и $\mathbf r-\mathbf r_0$:
$(\mathbf n, \mathbf r-\mathbf r_0)=0$
Второй вектор параллелен прямой. Значит, первый перпендикулярен.

[svv]

Пусть $\mathbf r_0$ — фиксированная точка на прямой, $\mathbf r$ — переменная точка на прямой. Тогда вектор $\mathbf r-\mathbf r_0$ будет параллелен прямой.

Если дано, что некоторый вектор $\mathbf a$ тоже параллелен прямой, то векторы пропорциональны:
$\mathbf r-\mathbf r_0=\mathbf a t$
Отсюда получается $\dfrac{x-x_0}{a_x}=\dfrac{y-y_0}{a_y}=t$

Если дано, что некоторый вектор $\mathbf n$ перпендикулярен прямой, то
$(\mathbf n, \mathbf r-\mathbf r_0)=0$
Отсюда получается $n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)=0$, или $n_x x+n_y y+C=0$

[Sinoid]

А еще можно применить формулу тангенса угла между прямыми, отдельно рассмотрев случаи $A=0$ или $B=0$ (оба они не могут быть $0$ по определению), хотя описанные выше рассуждения сразу охватывают все случаи.

[arseniiv]

Ещё можно применить линейные формы.

Линейная форма — это такая функция, которая каждому вектору сопоставляет число, «измеряя» его проекцию на какую-то фиксированную ось (это не текущее определение, но неформально так всё и есть). При этом получается, что для линейной формы $f$ справедливо $f(\alpha\mathbf u + \beta\mathbf v) = \alpha f(\mathbf u) + \beta f(\mathbf v)$ для любых векторов и скаляров (а вот это красивое равенство и считается признаком линейной формы). Это означает, что можно задать линейную форму её значениями на некотором базисе: пусть $f(\mathbf i) = a, f(\mathbf j) = b$, тогда вектор с координатами $(x,y)$ будет преобразовываться этой формой в число $ax + by$.

Раз уж линейная форма — функция, почему бы не посмотреть на её линии уровня? Линии уровня — это такие кривые, для точек которых функция выдаёт одиннаковые результаты. Пускай нас интересует линия уровня $c$ (и у нас задан базис $(\mathbf i,\mathbf j)$ и связан с формой как выше). Она состоит из векторов с какими-то координатами. Что можно про них сказать? $ax + by = c$. Знакомо? Это и есть наша прямая. Почему прямая?

Посмотрим на векторы, которые форма $f$ безжалостно превращает в ноль. Они образуют её ядро. Пусть у нас есть два таких, $\mathbf u$ и $\mathbf v$. $f(\alpha\mathbf u + \beta\mathbf v) = \alpha f(\mathbf u) + \beta f(\mathbf v) = \alpha\cdot0 + \beta\cdot0 = 0$ — оп-па! Любая линейная комбинация векторов из ядра снова принадлежит ему. Что это значит? Ядро линейной формы — линейное подпространство. Его размерность, как можно показать, на единицу меньше размерности объемлющего пространства. Такие штучки называют гиперплоскостями, и гиперплоскость плоскости — обычная прямая. Вспомните уравнение плоскости $Ax + By + Cz = D$ — оно так похоже именно потому что плоскость — гиперплоскость трёхмерного пространства.

Стоп! Мы доказали, что $ax + by = 0$ — уравнение прямой. Но ничего не сказано об общем случае! Линия уровня не 0 линейной формы уже не будет линейным подпространством. Она будет совпадать с перенесённым на какой-то вектор ядром этой формы. Она так и останется гиперплоскостью, потому что плоскости от параллельного переноса не гнутся. Такие перенесённые линейные подпространства из-за их частоты тоже назвали: аффинными (тоже подпространствами). В них не обязательно есть нулевой вектор — этим они «ущербны», но любая линейная комбинация элементов аффинного подпространства с суммой весов 1 всегда будет находиться в нём. У этого есть наглядная интерпретация, но она здесь не нужна.

И с каждой линейной формой связаны бесконечные стопки гиперплоскостей, пронумерованных числами. Это удобно, если мы вдруг захотим думать о линейных формах вечерами. Или сделать из них линейное пространство. Но это уже совсем другая история.

-- Пн дек 30, 2013 04:23:19 --

Писал-писал сказочку, а про нормаль забыл.

-- Пн дек 30, 2013 04:34:21 --

Нормаль появляется только тогда, когда к нам приходит Дед Мороз скалярное произведение. Оно, как древо познания, отделяет прямое от косого, и всё такое.

И вот оно пришло к векторам вместе с удобным здесь обозначением svv. Заденет ли оно линейные формы? Ещё как. Оказывается, скалярное произведение с данным вектором (у нас остаётся один операнд, и туда мы подставляем что-нибудь) — это линейная форма! Иными словами, для любого вектора $\mathbf a$ существует линейная форма $f$ такая, что $f(\mathbf v) = (\mathbf a,\mathbf v)$. Про нормаль это ничего интересного не говорит, но спать мне тоже надо. Прошу прощения у ТС за внезапный конец истории.

[svv]

(Оффтоп)

Прочитал и аж настроение поднялось (испорченное этим).

[arseniiv]

(Оффтоп)

Спасибо.

(Интересно, не показалась ли ТС эта сказка кошмарной?)

[alcoholist]

u100 в сообщении #807388 писал(а):

Почему это так? Почему координаты нормального вектора прямой будут $(A;B)$?

в знаменателях канонического уравнения стоят координаты направляющего вектора, а не нормали