бусина на кольце

[Oleg Zubelevich]

На проволочной окружности радиуса $r$ находится надетая на нее маленькая бусина массы $m$. Коэффициент сухого трения между бусиной и окружностью равен $\mu>0$. Бусина насажена на проволоку неплотно. Кольцо неподвижно. Силы тяжести нет.

В момент времени $t=0$ бусине придали некоторую начальную скорость и предоставили систему самой себе. В момент времени $t=T$ скорость бусины измерили и нашли, что она равна по модулю $v$. Оцените сверху время $T$ между "запуском" бусины и моментом измерения скорости.
(Т.е. известны $r,m,\mu,v$ оценить $T$)

Релятивистскими эффектами пренебречь

[Parkhomuk]

А эта "некоторая" начальная скорость известна?

[Oleg Zubelevich]

нет

[maisvendoo]

Ответ задачи: $T \le \cfrac{r}{\mu v}$, если пренебречь релятивистскими эффектами

[gris]

Попытка угадать решение maisvendoo.

Будем рассматривать движение вдоль проволоки с уравнением

$x''=-\dfrac {\mu (x')^2}{r}$ или $rv'=-\mu v^2$ с начальным условием $v(0)=v_0$

Интегрируя, получим $\dfrac r {v}=\mu t+\dfrac r {v_0}$, то есть $\dfrac {r} {v}=\mu T+\dfrac {r} {v_0}$, откуда

$T=\dfrac r {\mu v}-\dfrac r {\mu v_0}$, причём $v_0\geqslant v$.

Получается, что максимального значения достичь не удастся? Ну если только ограничение скорости $v_0\leqslant c$ является релятивистским эффектом. То есть верхняя оценка та, что указана, но со строгим неравенством.

Смущает отсутствие массы... Да и вообще, наверное, не так всё просто

[maisvendoo]

Ход Ваших рассуждений абсолютно верен. Масса дана для отвода глаз.
Только я не уверен, что стоило приводить полное решение

[gris]

Ах, если бы. Вдруг чего-то не учли? Если бусинку закрутить при одновременном толчке вдоль проволоки? Учитывать, например, нагрев при трении?

Почему не стоило приводить полное решение? Это же олимпиадный раздел.

[maisvendoo]

Бусина здесь мыслится точкой. Как её можно закрутить? Тот случай, когда не надо плодить лишних сущностей.
К тому же, Ваше предположение требует дополнительной информации - например о материале бусины и доле потерь энергии идущей на её нагрев.

[gris]

Раз не дана масса кольца, то оно и дальше не будет двигаться. А что значит тогда "предоставили систему самой себе"? А что если через работу силы трения попробовать? То же самое получится?
Может быть, мы не учли тангенциальную составляющую силы трения?

[maisvendoo]

Думаю, сила трения проецируется здесь на касательную к окружности в полную величину. Через теорему об изменении кинетической энергии выйдет так же, только дольше.
Думаю соль задачи как раз в зависимости нормальной реакции от скорости и исследовании решения при больших начальных скоростях. Причем даже если скорость скажем на три порядка меньше $c$ это лежит вне релятивистской динамики и начальную скорость можно просто положить достаточно большой

[Oleg Zubelevich]

полное рещение, конечно, не надо было выкладывать