Дифур в частных производных и обобщённые функции

[Felt]

При нахождении фундаментального решения многих операторов(Шрёдингера и т.д.) используют преобразования фурье. Классическая схема - преобразование фурье на переменные x,y,z..., небольшое преобразование, затем снова фурьер на переменную t, преобразование и возвращение к первоначальной функции. Непонятен один шаг, вовремя не спросил на уроке: когда используют в первый раз преобразование фурье, на правой стороне в это время стоит $\delta (x,y,z...,t)$. Иначе это для удобства записывают как $\delta (x,y,z..) \otimes \delta (t)$, применяют преобразование фурье и осатается на правой стороне
$1 \otimes \delta (t)$.
Это понятно, а вот затем единичку упускают и пишут, что это равно просто
$\delta (t)$.
Почему?
Если распишем действие функций для одноразмерного случая
$(1(x) \otimes \delta (t); \varphi (x,t) )=(\delta (t); (1; \varphi (x,t) ) )=(\delta (t); \int \varphi (x,t) dx )= \int \varphi (x,0) dx$
Если единичку убрать, то получим
$(\delta (t); \varphi (x,t) )=\varphi (x,0)$

[NhSsUe]

(\delta (t);\varphi(x,t)) должно быть числом, поэтому (\delta (t);\varphi(x,t))=\int \varphi (x,0)dx

[Felt]

NhSsUe в сообщении #805690 писал(а):

(\delta (t);\varphi(x,t)) должно быть числом, поэтому (\delta (t);\varphi(x,t))=\int \varphi (x,0)dx

Результат не всегда число(когда переменных у обобщённой функции меньше, чем у основной функции).

Вопрос открыт.