Задача по теории вероятности

[Hymilev]

На прямолинейном участке дороги длиной А находятся N человек. Какова вероятность P что расстояние между любыми двумя соседями не меньше B .
PS.Может задача и учебная, но у нас была на олимпиаде.

[TOTAL]

Можно попробовать отгадать: $ ( 1-(N-1) \frac{B}{A} )^N$

[Brukvalub]

TOTAL писал(а):

Можно попробовать отгадать: $ ( 1-(N-1) \frac{B}{A} )^N$

Если А=2В и N=5, то у меня по этой формуле получилась вероятность -1.

[TOTAL]

Brukvalub писал(а):

TOTAL писал(а):

Можно попробовать отгадать: $ ( 1-(N-1) \frac{B}{A} )^N$

Если А=2В и N=5, то у меня по этой формуле получилась вероятность -1.

При $ ( 1-(N-1) \frac{B}{A} ) < 0$ формулу использовать не рекомендуется

[lexus c.]

TOTAL писал(а):

Можно попробовать отгадать: $ ( 1-(N-1) \frac{B}{A} )^N$

отгадать?
А как гадали-то? Просто интересно, из каких соображений Вы пришли к такому выводу)

[neo66]

Для $N=2, \frac{B}{A}=\alpha$ ответ легко получить из геометрических соображений:
$p=(1-\alpha)^2$.

Для $N=3$:
$p=(1-\alpha)^3$

Дальше можно догадываться.

[Brukvalub]

neo66 писал(а):

Для $N=3$:
$p=(1-\alpha)^3$

Дальше можно догадываться.

Судя по этому ответу, догадки могут завести и не туда.

[незваный гость]

Я не поленился подсчитать для $n = 3$. Я обозначил $\beta = \frac{B}{A}$:
$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1-2\beta}{3} + \frac{2(1-3\beta)^3}{3(1-2\beta)^2}+2\beta \frac{1-3\beta+3\beta^2}{(1-\beta)(1-2\beta)} + 4 \beta \ln\frac{1-2\beta}{1-\beta} & 0 \le \beta \le 1/3 \\ \frac{1-2\beta}{3} + 2 \frac{1-2\beta}{1-\beta} + 4 \beta \ln\frac{\beta}{1-\beta} & 1/3 \le \beta \le 1/2 \\ 0 & 1/2 \le \beta \end{array} \right. $
Если, конечно, нигде не проврался (при вводе или в выкладках).

Причудливые формулы, не правда ли? Из серии «Оставь надежду всяк сюда входящий». Мне плохо верится, что существует какое-либо красивое решение для общего случая…

Добавлено спустя 5 минут 45 секунд:

Hymilev писал(а):

PS.Может задача и учебная, но у нас была на олимпиаде.

Кто же это такие олимпиады проводит?!

[Юстас]

Нужно знать совместное распределение всех порядковых статистик, которое для равномерно распределенных на отрезке $[0,1]$ точек будет иметь примерно такой вид:

$$P(x_{(1)}<t_1,\ldots, x_{(n)}<t_n)=\sum_{k_1=1}^{n}\sum_{k_2=2-k_1}^{n-k_1}\ldots \sum_{k_n=n-k_1-\ldots-k_{n-1}}^{n-k_1-\ldots-k_{n-1}}C_n^{k_1}C_{n-k_1}^{k_2}\ldots C_{n-k_1-\ldots-k_{n-1}}^{k_n}t_1^{k_1}(t_2-t_1)^{k_2}\ldots(t_n-t_{n-1})^{k_n}$$

[Руст]

Каждому такому распределению можно сопоставить распределение на отрезке длины A-(N-1)B, вырезая длину И после первого, второго,..., после N-1 -го. Вероятность соответствует n- мерному объёму $x_1+x_2+...+x_n\leA , x_i\ge 0$. Откуда получается формула TONAL. Она фактический очевидная и мне не понятно, почему до сих пор обсуждается.

[TOTAL]

незваный гость писал(а):

:evil:
Я не поленился подсчитать для $n = 3$. Я обозначил $\beta = \frac{B}{A}$:
$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1-2\beta}{3} + \frac{2(1-3\beta)^3}{3(1-2\beta)^2}+2\beta \frac{1-3\beta+3\beta^2}{(1-\beta)(1-2\beta)} + 4 \beta \ln\frac{1-2\beta}{1-\beta} & 0 \le \beta \le 1/3 \\ \frac{1-2\beta}{3} + 2 \frac{1-2\beta}{1-\beta} + 4 \beta \ln\frac{\beta}{1-\beta} & 1/3 \le \beta \le 1/2 \\ 0 & 1/2 \le \beta \end{array} \right. $
Если, конечно, нигде не проврался (при вводе или в выкладках).

Причудливые формулы, не правда ли? Из серии «Оставь надежду всяк сюда входящий». Мне плохо верится, что существует какое-либо красивое решение для общего случая…

Вот бы кто-нибудь не поленился запрограммировать и проверить. Тогда у входящих появится надежда.
(Решается индукцией по количеству сброшенных на дорогу людей)

[Brukvalub]

Руст писал(а):

Откуда получается формула TONAL. Она фактический очевидная и мне не понятно, почему до сих пор обсуждается.

А почему-бы и не пообсуждать явно неполную формулу. Ведь довольно очевидно, что, если отношение требуемого расстояния между людьми к длине всего отрезка близко к 1, и людей много, то формула не работает. Значит, как минимум, нужно еще указать границы применимости этой формулы и указать значение вероятности для остальных случаев.

[незваный гость]

TOTAL писал(а):

Вот бы кто-нибудь не поленился запрограммировать и проверить

Я проверил. И думаю, что знаю, где именно ошибся.

~~~

Почему бы не рассуждать примерно так:

Вырежем $n-1$ кусок дороги длины $B$. Вероятность попасть в остаток равна либо 0 (если $A \le (n-1) B$) либо $(1-(n-1)\frac{B}{A})^n$. Теперь вставим вырезанные сегменты слева от всех людей, кроме самого левого. Очевидно, мы гарантировали удаленность. С другой стороны, если расстояние есть, то нужные сегменты можно вырезать.

[Юстас]

Только вот с независимость и равномерная распределенность при этом, кажеся, нарушатся. Во всяком случае, корректность этого решения надо доказать. Кто-нибудь пробовал численно проверить?

[незваный гость]

Злобный карла из Монте подтверждает.