Бигамильтоново векторное поле, устойчивость-неустойчивость

[scwec]

Пусть на $\mathbb{R}^3$ задано векторное поле $X=x(y^2-z^2)\dfrac{\partial}{\partial{x}}+y(z^2-x^2)\dfrac{\partial}{\partial{y}}+z(x^2-y^2)\dfrac{\partial}{\partial{z}}$
1. Докажите, что $X$ является бигамильтоновым. Для этого определите на $\mathbb{R}^3$ две различные согласованные пуассоновы структуры (вырожденные, конечно) и два гамильтониана для $X$.
2. Используя найденные гамильтонианы (или как-то иначе), найдите типы всех особых точек $X$. Докажите, что все точки на прямых $|x|=|y|=|z|$ устойчивы по Ляпунову, а все точки на прямых $(x=y=0, z\ne{0}),(z=x=0, y\ne{0}), (y=z=0, x\ne{0})$ неустойчивы по Ляпунову.

[Oleg Zubelevich]

первые интегралы: $x^2+y^2+z^2,\quad xyz$

[scwec]

Ну и дальше желательно.

[Oleg Zubelevich]

ну, видимо, дальше надо скобку Пуассона подбирать методом неопределенных коэффициентов, что бы первый интеграл превратился в гамильтониан

[scwec]

В трехмерном случае при наличии двух независимых почти всюду первых интегралов, ситуация упрощается.
Векторное произведение градиентов первых интегралов (координаты декартовы) отличается множителем от векторного поля $X$. В нашем случае, поскольку $\operatorname{div}X=0$, этот множитель $={1}$.
Отсюда сразу следует, что матрицы
$J_1= \left(\begin{array}{ccc}0& -z& y\\z& 0& -x\\-y& x& 0\end{array}\right)$ и $J_2= \left(\begin{array}{ccc}0& xy& -xz\\-xy& 0& yz\\xz& -yz& 0\end{array}\right)$ задают два структурных тензора, определяющих две пуассоновых структуры на $\mathbb{R}^3$
Обозначим $U=\dfrac{1}{2}(x^2+y^2+z^2), V=xyz$.
Скобки пуассона для $J_1$: $\{x,y\}_1=-z, \{y,z\}_1=-x, \{z,x\}_1=-y$,
скобки пуассона для $J_2$: $\{x,y\}_2=xy, \{y,z\}_2=yz, \{z,x\}_2=zx$.
$U$ гамильтониан $X$ для второй структуры, $V$ гамильтониан $X$ для первой структуры.
Остаются вопросы об устойчивости особых точек и структуре траекторий.

[Oleg Zubelevich]

это уже совсем учебная задача.

[scwec]

А как сейчас их решают в учебном порядке?

[Oleg Zubelevich]

Выберите какое-нибудь одно положение равновесия, я его обработаю

[scwec]

Понятно, но здесь можно получить ответ сразу для всех положений равновесия, исходя из одного соображения.
Воспользуйтесь тем, что у Вас есть два первых интеграла.

[Oleg Zubelevich]

Простите, Вы действительно думаете, что я не вижу, что это гамильтонова система на сфере, и что качественное исследование этой задачи может представлять хоть какие-нибудь трудности?

[scwec]

Начал было думать, но теперь передумал.
Если Вы не против, замена.
Вот еще одно поле на $\mathbb{R}^3$. $X=x(kx^2+y^2+z^2)\dfrac{\partial}{\partial{x}}+y(x^2+ky^2+z^2)\dfrac{\partial}{\partial{y}}+z(x^2+y^2+kz^2)\dfrac{\partial}{\partial{z}}$
Доказать неустойчивость $(0,0,0)$ при $k>-\dfrac{2}{3}$

[Oleg Zubelevich]

$xyz$ является функцией Ляпунова-Четаева для данной системы при $k>-2$

scwec в сообщении #805277 писал(а):

Начал было думать, но теперь передумал.

ну-ну

[scwec]

Oleg Zubelevich в сообщении #805300 писал(а):

$xyz$ является функцией Ляпунова-Четаева для данной системы при $k>-2$

Действительно, так и есть. Всё правильно.
А при $k\le{-2}$ всегда устойчивость. Здесь функция Ляпунова $x^2+y^2+z^2$. Так что ясна полная картина.
Теперь, откуда в вопросе взялись $-\dfrac{2}{3}$. Дело в том, что при $k>-\dfrac{2}{3}, $ $\operatorname{div}X>0$ (при $x^2+y^2+z^2\ne{0}$). Можно доказать, что точка покоя в этом случае неустойчива для любых полей. Тут справедливо и более общее утверждение, если дивергенция знакопостоянна, но принимает нулевое значение на множестве меры нуль.
Не всегда ведь легко построить функции Ляпунова-Четаева. А тут просто проверка дивергенции на положительную определенность.
Одним словом, может пригодиться.
И ещё одно замечание. Любое гладкое векторное поле в $\mathbb{R}^3$ с двумя функционально независимыми (почти всюду) первыми интегралами является бигамильтоновым. Доказывается просто.