Доказать неаксиоматизируемость класса

[Flaminga]

Доказать, что класс всех одномерных векторных пространств над полем $\mathbb R$ не является аксиоматизируемым в сигнатуре $\sigma = < +, \alpha \cdot, 0>$, где $\alpha \cdot$ - одноместная функция умножения вектора на скаляр $\alpha \in\mathbb R$.

Были мысли о теореме об аксиоматизируемости: Пусть К - некоторый класс моделей заданной сигнатуры. Класс К аксиоматизируемый $\Leftrightarrow$ он замкнут относительно изоморфизма, элементарных подмоделей и ультрапроизведений.

То есть, что можно построить изоморфизм между моделью одномерного и двумерного векторного пространства над полем \mathbb R$, хотя двумерное в наш класс не входит.

[bot]

Flaminga в сообщении #805100 писал(а):

То есть, что можно построить изоморфизм между моделью одномерного и двумерного векторного пространства над полем \mathbb R$

Это как?
Вернитесь к предыдущему предложению и подумайте, что будет означать незамкнутость относительно ультрапроизведений.

[Flaminga]

Цитата:

Вернитесь к предыдущему предложению и подумайте, что будет означать незамкнутость относительно ультрапроизведений.

Извините, Вы хотите сказать, ультрапроизведение одномерных векторных пространств с такой сигнатурой не будет одномерным векторным пространством?

И можно только через них пойти?

[bot]

А как же иначе понимать неаксиотизируемость этого класса?

[Flaminga]

А через противоречие теореме Левенгейма-Сколема можно пойти? Ведь здесь не будет модели счетной мощности. Следовательно, векторные пространства над полем действительных чисел в принципе не могут быть моделями какой-либо теории.

[bot]

Flaminga в сообщении #805224 писал(а):

А через противоречие теореме Левенгейма-Сколема можно пойти? Ведь здесь не будет модели счетной мощности.

Вы не шутите? Противного ещё не предположили, а противоречие уже налицо.
Вам же ясно сказали - всего и делов показать, что свойство быть одномерным не выдерживает перехода к ультрастепени. Начните с простейших фильтров (пусть пока и не ультра), которые Вы знаете.

[Flaminga]

Фильтр Фреше знаю, но он не ультра.
Так как пространство одномерно, элементы - векторы на прямой, можем оперировать с ними, как с числами. F - фильтр, включающий в себя подмножества R, не содержащие единицу.
Извините, хоть немного верны рассуждения?

-- 24.12.2013, 10:54 --

Или просто, не строя ультрафильтра. Элементы основного множества ультрапроизведения моделей будут упорядоченный n-ки. Размерность не сохранилась. Следовательно, класс таких моделей не аксиоматизируем.

[bot]

Flaminga в сообщении #805388 писал(а):

Элементы основного множества ультрапроизведения моделей будут упорядоченный n-ки

Если в $n-$ке $n$ конечно, то этим ничего не добьёшься, потому как ультрафильтр на конечном множестве будет ... каким? А подойдут ли нам такие? Ведь в фильтрованном произведении с виду разные "$n-$ки" могут оказаться одинаковыми.
Для начала можно взять и Фреше - ведь любой фильтр "дофильтровывается". Но это потом, а сначала о свойстве. Какое свойство должны опровергнуть? Значит, что ... ?

[Flaminga]

Ультрастепень системы мощности n, также имеет мощность n. Но у нашей модели мощность континуум, значит, существует ультрастепень мощности континуум или еще больше.
Мы должны опровергнуть свойство одномерности ультрастепени.

[bot]

Flaminga в сообщении #805427 писал(а):

Ультрастепень ... бла-бла-бла ... больше.

Всё мимо.

Flaminga в сообщении #805427 писал(а):

Мы должны опровергнуть свойство одномерности ультрастепени.

Именно. И что это означает?

[Flaminga]

Что ультрастепень будет счетной размерности?

[bot]

Не надо грандиозных замахов - нужное Вам утверждение несравненно скромнее.

[Flaminga]

Что ультрастепень будет не размерности 1?

А все-таки, почему нельзя по теореме Левенгейма-Сколема(о повышении)? Я неправильно изначально сформулировала мысль: если у теории есть бесконечная модель, то есть и модель любой мощности, большей, чем max{мощность модели, мощность сигнатуры}. Так как альфа не задано, и мощность R континуум, у нас мощность сигнатуры получается континуум(перебор всех скаляров из R). Следовательно, должно быть одномерное в.п. мощности большей, чем континуум, чего быть не может.

[bot]

Ну, так из этой пушки выстрелить можно, если Вас это устроит.
Вам сдавать или для себя?

[Flaminga]

В том то и дело, что сдавать. Но ультрапроизведения мы, по идее, не знаем.