Сумма подмножеств

[DjD USB]

Для каждого ненулевого подмножества множества чисел $\{2;3;…;2014\}$ находят произведение его элементов. Пусть S- сумма величин, обратных таким произведениям:

$$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2014}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}+…+\frac{1}{2\cdot 3\cdot .... \cdot 2014}$$

Найти S

[Руст]

$S=-1+\prod_{i=2}^{2014}(1+\frac 1i)=\frac{2015}{2}-1$.

[DjD USB]

Руст в сообщении #804673 писал(а):

$S=-1+\prod_{i=2}^{2014}(1+\frac 1i)=\frac{2015}{2}-1$.

Хм..
А можете немного обосновать...

[Руст]

Выбору подмножества $S\subset \{2,3,...,2014\}$ соответствует характеристическая функция $s:\{2,...,2014\}\to\{0,1\}$ или член в сумме

$$\frac{1}{\prod_i i^{s(i)}}$$

. Соответствие взаимно однозначное.

[DjD USB]

А я просто вначале рассмотрел множество и 1 числа, потом из 2-х, из 3-х и получил закономерность $S_n=\frac{n}{2}$, а далее по индукции это доказывается легко...

[bot]

(Оффтоп)

DjD USB в сообщении #804651 писал(а):

Для каждого ненулевого подмножества

Мало того, что пустому подмножеству не дают внести свой посильный вклад, так его ещё и обзывают.