касательный вектор к гладкому многообразию

[molblox]

такая задача: нужно доказать что
$v = $ $ \left( \begin{array} {cccc} 0&0&0&0 \\ 0&0&0&1 \\ 0&0&0&0 \\ 0&-1&0&0 \end{array} \right) &
является касательным вектором к гладкому многообразию О(4) (ортогональные матрицы 4 на 4) в точке Е (единичная матрица).

правильно ли я понимаю, что нужно ввести локальные координаты, то есть просто сопоставить каждой матрице вектор $ \left( \begin{array}{ccccccccccccccccccc} x^1&x^2&...&x^1^5&x^1^6 \end{array} \right) $ из $ R^1^6 $, где координаты с 1-ой по 4, c 5 по 8 и т.д - строки матрицы
продифференцировать по параметру, т.е. найти вектора скоростей, i-ых координатные линий, проходящих через заданную точку, которые выглядят вот так Г$_i(t) = \left( \begin{array}{ccccccccccccccccccc} x^1&x^2&&...&&x^i+t&&...&&x^1^5&x^1^6 \end{array} \right) $
получим, что базис касательного пространства составляют матрицы, у которых все элементы - нули, кроме одного
ну а касательный вектор $v$ - линейная комбинация базисных
верный ли ход доказательства, или координатные линии тоже должны принадлежать пространству ортогональных матриц

[Oleg Zubelevich]

а не задаться ли вам таким вопросом: что представляет собой алгебра Ли группы $SO(n)$?. Ну это просто чтоб на несущественные детали не отвлекаться

Пусть $A(t)$ -- однопараметрическая подгруппа $SO(n)$: $A(t+s)=A(t)A(s)$. Дифференцируем последнее равенство по $t$ и полагаем $t=0$. $\dot A(0)=\dot A(s)(A(s))^{-1}$. Докажите, что $\dot A(0)$ -- кососимметрична
Докажите, что если $\Omega$ -- кососимметрична, то решение задачи $\dot A(t)=\Omega A(t),\quad A(0)=E$ является однопараметрической подгуппой $SO(n)$

[svv]

molblox в сообщении #804303 писал(а):

получим, что базис касательного пространства составляют матрицы, у которых все элементы - нули, кроме одного

И, пользуясь таким базисом, немедленно вылетим из многообразия ортогональных матриц, хотя не имеем на это никакого права. Он ведь никак не ограничивает наши перемещения в $\mathbb R^{16}$, как Вы при этом гарантируете ортогональность?

[molblox]

я уже разобрался. "не должен вылетать" из многообразия матриц:)
в данном конкретном случае, нужно брать координатные линии - блочные матрицы, с блоками, соответствующими поворотам по/против часовой стрелки, проходящие через Е. и их линейная комбинация - искомый вектор
но обнаружил другую проблему: не удается параметризовать так, что в какой-либо точке, кривая проходила через Е

[alcoholist]

$A(t)=e^{vt}$ и есть та самая кривая, или я видел сны?

[Oleg Zubelevich]

я это уже писал, но до него не дошло

Oleg Zubelevich в сообщении #804323 писал(а):

Докажите, что

если $\Omega$ -- кососимметрична, то решение задачи $\dot A(t)=\Omega A(t),\quad A(0)=E$ является однопараметрической подгуппой $SO(n)$

[alcoholist]

Oleg Zubelevich в сообщении #804377 писал(а):

я это уже писал, но до него не дошло

явный вид проще дифура)
он испугался просто

[molblox]

матричные диффуры и доказательство лемм - это немного не в ту степь, что мне было нужно, но спасибо за помощь.
с задачей, наконец, разобрался, требовалось взять следующую кривую:
$\left( \begin{array} {cccccccccccccccc} 1&&0&&0&&0 \\ 0&&cost&&0&&sint \\ 0&&0&&1&&0 \\ 0&&-sint&&0&&cost \end{array} \right) $
и продифференцировать ее по t. значение вектора скорости в 0 - искомый вектор

тему можно закрывать

[alcoholist]

molblox в сообщении #804751 писал(а):

требовалось взять следующую кривую

так это и есть $e^{vt}$