2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Практическое применение топологии
Сообщение20.12.2013, 20:11 
Добрый день.

Задался вопросом: где и какое используется топология? В чём выгода алгебраического подхода к изучению топологии? Имею в виду алгебраическую топологию, если я, конечно, правильно понял что это.

P. S. Не закидывайте глубокими топологическими понятиями, пока не имел ещё этого предмета и знаю лишь самые общие основы топологии

 
 
 
 Re: Практическое применение топологии
Сообщение21.12.2013, 15:39 
Аватара пользователя
Общая топология (“general or point-set topology”) находится в глубине чистой математики. Это довольно абстрактная ее область, поэтому, она, как правило, используется в естествознании косвенно.

Например, топология непосредственно используется для получения результатов в математическом и функциональном анализе, а уже эти результаты могут быть использованы, например, в математической физике. Например, я вчера получил из Цюриха письмо о том, что доказываемая моими топологическими методами теорема про аппроксимацию функций на гильбертовом пространстве должна бы гарантировать сходимость метода Эйлера к решению для дифференциального уравнения в частных производных.

Как я уже писал, прямое использование топологии в естествознании довольно редко, и я смог вспомнить тому только пару примеров (не считая разных топологических фокусов :-) ). Например, в аннотации к статье «Vacuum Energy Density for Massless Scalar Fields in Flat Homogeneous Spacetime Manifolds with Nontrivial Topology» P. M. Sutter и Tsunefumi Tanaka утверждают, что, «хотя наблюдаемая Вселенная и кажется геометрически плоской, но она может обладать одной из 18 глобальных топологий. Одновременное сечение пространственно-временного многообразия может быть тором, листом Мёбиуса, бутылкой Клейна или другим». Еще краем уха я слышал, что какие-то результаты из теории узлов были использованы для описания четвертичной или какой-то там структуры белка.

Выгода алгебраической топологии следует из самого ее названия, поскольку она занимается переформулировкой топологических проблем в алгебраических терминах, что, зачастую, делает их формулировку проще, прозрачнее, и, как следствие, решабельнее.

 
 
 
 Re: Практическое применение топологии
Сообщение21.12.2013, 17:05 
Аватара пользователя
Felt в сообщении #803989 писал(а):
Задался вопросом: где и какое используется топология?

В завязывании шнурков, разумеется!

 
 
 
 Re: Практическое применение топологии
Сообщение21.12.2013, 18:39 
В книге В. Г. Болтянского, В. А. Ефремовича "Наглядная топология" (библиотечка "Квант", 1982 г.) есть приложение "Топологические объекты в нематических жидких кристаллах (В. П. Минеев)". Там описано применение топологии в биофизике полимеров.

 
 
 
 Re: Практическое применение топологии
Сообщение22.12.2013, 12:19 
Felt в сообщении #803989 писал(а):
Задался вопросом: где и какое используется топология?

Алгебраическая топология напрямую используется в многих областях знаний, от Computer Science до молекулярной биологии.
Цитата:
В чём выгода алгебраического подхода к изучению топологии?

Алгебраические инварианты, как правило, проще вычислять.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group