Пределы, производные, пара задач

[Ubermensch]

1) Выяснить, существует ли $\lim\limits_{x \to 3} [\frac{x-3}{4}]$
Я взял две подпоследовательности:
$x_{x}^1=\frac{3n^2+\frac{1}{n}}{n^2}$. Предел этого $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^2+\frac{1}{n}}{n^2} = 3$
$x_{x}^2=\frac{n^2+2}{n^2}$ $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2+2}{n^2}=3$
Но $\lim\limits_{n \to \infty} [\frac{\frac{n^2+2}{n^2}-3}{4}] \ne \lim\limits_{n \to \infty} [\frac{{3n^2+\frac{1}{n}}{n^2}-3}{4}]$
Значит предела не существует?
2)Пользуясь определением вычислить односторонние производные:
$f(x)=x, x\leqslant0$
$f(x)=x^\frac{4}{3}\cdot lnx, x>0$
$f(0)_{+}^' $, $(0)f_{-}^'$ нужно найти по определению.
Это вызвало затруднение.
3) Найти производную порядка $n=50$, $f(x)=\sin^2x \cdot\sin2x$. Здесь можно обойти без формулы Лейбница. Я нашёл закономерность:
$f'(x)=\sin^22x+2\sin^2x\cdot\cos2x$
$f''(x)=4\sin4x-2\sin2x$
. . .
$f^{7}(x)=2^{12}\cos(4x)-2^6\cos2x$, то есть через $f^{7+4n}= 2^{(n-1)\cdot2}\cos4x-2^{n-1}\cos2x$
Значит производная порядка $n=50$ будет $2^{49}\cos2x-2^{98}\cos4x$
Верно?

[gris]

1) Идея правильная, но вторая последовательность плоха. Она даже не сходится к трём, а должна, причем специфическим образом. И ещё там должно быть $x_n=...$

2) Справа по определению и действуйте. Слева можно и так.

3) В первой производной забыли двоечку, не беда, но можно было сразу представить выражение в виде разности двух синусов. По-моему, знаки перепутаны.

[Sinoid]

Могу высказаться по поводу примера 3). Во-первых, не совсем ясен переход от $f^7(x)$ к$f^{7+4n}(x)$, (он, по-моему, неверен). А, во-вторых, даже если она и верна, для вычисления $f^{50}(x)$ она не пригодна: число $50$ не является числом вида $7+4n$, хотя, конечно, можно сначала вычислить $f^{47}](x)$. Но обычно в таких задачах получают формулы, сразу приводящие к ответу.

[Ubermensch]

В 3 период закономерности получается 4? Значит нам нужно брать производную, которая представляется в виде $50=f^x+4n$ ?

[gris]

Период 4, то есть по знакам и функциям 50-я производная соответствует второй. То есть у Вас в ответе знаки другие. А коэффициенты правильные.

[Ubermensch]

1) Можем взять $x_{n}^2=\frac{3n^2+2}{n^2}$? Тогда последнее неравенство превращается в равенство. Значит предел существует. Но если берем $3-0$, то предел равен -1, а если $3+0$, то предел равен 0. В чем ошибка?

-- 20.12.2013, 14:19 --

3) $2^{49}\sin4x-2^{98}\sin2x$. Это окончательный ответ?

-- 20.12.2013, 14:22 --

Как понять Ваши слова "должна стремится специфическим образом?" в комментарии к первому заданию? Как вообще критерии для выбора последовательности, кроме того, к чему она должна стремится. Из википедии мне не очень понятна эта фраза "но не содержащей \x_0 в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ~x_0 ), "

[gris]

Можно взять даже три последовательности с одинаковыми пределами значений функции, но это не докажет существование предела функции. В вот всего две последовательности с разными пределами доказывают не существование предела функции.
Вы правильно написали, что вторая последовательность должна приближаться к тройке слева. Ну и стройте её.

В данном случае у функции просто не совпадают правый и левый пределы. Бывают более сложные функции.
Выбирать последовательности надо так, чтобы они сходились к значению, к которому стремится аргумент функции, и имели разные пределы значений функции. В Вашем случае специфичность в том, что они сходятся с разных сторон.
Видит Админ, что в формализованной записи всё это яснее, но я не могу пока писать формулы.

[Ubermensch]

Я в первом вместо доказательства по Гейне доказал, показав, что левый и правый предел - разные. Этого достаточно?

[gris]

Достаточно. Но Вы всё как-то усложняете. Взяли бы последовательности $\{3-1/n\}$ и $\{3+1/n\}$