Доказать тождество с векторами

[RikkiTan1]

Доброго времени суток! Помогите, пожалуйста, доказать такое тождество

$$(a,b,c)d=(d,b,c)a+(d,c,a)b+(d,a,b)c$$

где a,b,c,d - векторы.

[svv]

Например, так. Запишем определитель
$\begin{vmatrix}a_k&b_k&c_k&d_k\\a_1&b_1&c_1&d_1\\a_2&b_2&c_2&d_2\\a_3&b_3&c_3&d_3\end{vmatrix}=0$
Здесь $k$ — это любое из чисел $1,2,3$. Однако при любом $k$ верхняя строка совпадает с какой-то другой, поэтому определитель равен нулю, что я и записал.

Разложим определитель по элементам верхней строки. Миноры красиво складываются в смешанные произведения:
$\begin{vmatrix}b_1&c_1&d_1\\b_2&c_2&d_2\\b_3&c_3&d_3\end{vmatrix}=(b, c, d)$ и т.д.,
поэтому определитель равен
$a_k (b,c,d) - b_k (a, c, d) + c_k (a, b, d) - d_k (a, b, c) = 0$,
Коэффициенты при $a_k, b_k, c_k, d_k$ сами не зависят от $k$, что делает возможным переход к линейной комбинации векторов.

Нежелательный порядок или знаки можно поправить перестановками.

[ewert]

Это попросту формулы Крамера для решения системы линейных уравнений $x\vec a+y\vec b+z\vec c=\vec d$. Если, конечно, векторы $\vec a,\vec b,\vec c$ не компланарны; ну а для компланарных верно, например, по непрерывности.