Предел. Как это показать?

[amoral10]

Здравствуйте!
вот, встретился с пределом:
$\lim \limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[4]{n^4+4}-\sqrt[5]{n^5+5}}$.
как доказать, что он разбегается?
Я понимаю, что предел знаменателя равняется нулю, но как это показать шаг за шагом. Я пробовал умножить на сопряженное к знаменателю выражение, получил:
$\lim \limits_{n \to \infty}\frac{(\sqrt[4]{n^4+4}+\sqrt[5]{n^5+5})}{\sqrt{n^4+4}-\sqrt[5]{(n^5+5)^2}}$
Теперь еще раз на сопряженное выражение к новому знаменателю:
$\lim \limits_{n \to \infty}\frac{(\sqrt[4]{n^4+4}+\sqrt[5]{n^5+5})(\sqrt{n^4+4}+\sqrt[5]{(n^5+5)^2})}{n^4+4-\sqrt[5]{(n^5+5)^4}}$.
Для меня очевидно, что в знаменателе
$\lim \limits_{n\to \infty}(n^4+4-n^4\sqrt[5]{1+20/n^5+150/n^{10}...})=4$, а числитель стремится к бесконечности.
Но у меня задача объяснить это другому человеку. Достаточно ли этого? Потому что возникает вопрос по поводу неопределенности $\infty\times 0$, в выражении $n^4(1-\sqrt[5]{1+20/n^5+...})$

И я не чуствую, что мне полностью верят.

[Aritaborian]

(Про $\TeX$)

Предел правильно набирается так: \lim \limits _{n \to \infty} \a_n.

[leeroykam]

amoral10 в сообщении #802878 писал(а):

Здравствуйте!
как доказать, что он разбегается?

Если требуется только это,то по критерию Коши.

[Otta]

Ну например, берете Ваш знаменатель, и представляете в виде $\sqrt[4]{n^4+4}-\sqrt[5]{n^5+5}=(\sqrt[4]{n^4+4}-n)+(n-\sqrt[5]{n^5+5})$, занимаясь каждой скобкой в отдельности.

[amoral10]

Ок! Уточню: человек только выучил последовательности и их пределы. То есть, этот пример подразумевает, что можно обойтись без критерия Коши. Возможно ли это?

[Otta]

Мне ответить еще раз?

[amoral10]

Otta в сообщении #802887 писал(а):

Ну например, берете Ваш знаменатель, и представляете в виде $\sqrt[4]{n^4+4}-\sqrt[5]{n^5+5}=(\sqrt[4]{n^4+4}-n)+(n-\sqrt[5]{n^5+5})$, занимаясь каждой скобкой в отдельности.

Щас попробуем:
$\lim \limits_{n\to\infty}\frac{ (\sqrt[4]{n^4+4}-n)(\sqrt[4]{n^4+4}+n) }{(\sqrt[4]{n^4+4}+n) }=\lim \limits_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^4+4}-n^2)(\sqrt{n^4+4}+n^2)}{(\sqrt[4]{n^4+4}+n) (\sqrt{n^4+4}+n^2)}=\lim \limits_{n\to\infty}\frac{(n^4+4-n^4)}{(\sqrt[4]{n^4+4}+n) (\sqrt{n^4+4}+n^2)}=0$

Спасибо, Otta

[Otta]

Да не за что. Это сильно кондовый способ, конечно, эквивалентности бы дали нужный результат практически сразу. Но ничего.

[amoral10]

о! на ночь глядя, заметил, что с $\lim \limits_{n\to\infty} (n-\sqrt[5]{n^5+5})$ прием с умножением на сопряженное не проходит
Есть идеи на этот счет?

[Otta]

Почему не проходит? Проходит. Но умножать надо сразу на такое выражение, чтобы ушла пятая степень.
Если неясно, на какое, потренируйтесь сперва на кубическом корне.

[amoral10]

Наконец то до меня дошло. Это именно то, что я искал! Otta, спасибо еще раз!