Несколько уравнений в целых числах

[DjD USB]

1) Решить в целых положительных числах

$$ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{y^2}=1$$

2) Пусть T(x)-- сумма всех простых чисел, не превосходящих х. Найдите все корни уравнения:

$$T(x)=\frac{x^2}{2}$$

3) Натуральные числа a и b взаимнопросты и

$$\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}=\frac{3}{13}$$

Найти a и b.

Deggial: название исправил на более содержательное.

[mihiv]

1) Одна из трех дробей должна быть $\geq \frac 13$. Если $\frac 1{x^2}\geq \frac 13$, то $x=1$. При $x=1$ решений нет. Если же $\frac 1{xy}\geq \frac13$, то либо $x$, либо $y$ равно 1. Решений снова нет.

[DjD USB]

mihiv в сообщении #801709 писал(а):

1) Одна из трех дробей должна быть $\geq \frac 13$. Если $\frac 1{x^2}\geq \frac 13$, то $x=1$. При $x=1$ решений нет. Если же $\frac 1{xy}\geq \frac13$, то либо $x$, либо $y$ равно 1. Решений снова нет.

Есть еще один подход (хотя может и не один)

[Руст]

1) Пусть по симметрии $x\ge y$. у=1 перебор слева , у=2 не добор.
2) х=2 решение. х - четное. Если х больше двух, слева не больше чем 2+3+...(х-1) меньше чем справа.
3) Из взаимной простоты или $a+b=3, a^2-ab+b^2=13$
или $a+b=9, a^2-ab+b^2=39$.
По симметрии найдем только решения $a\ge b$.
3.1 $a=4,b=-1$,
3.2 $a=7,b=2$.

[DjD USB]

А что если первое уравнение решать в целых числах...

-- Вс дек 15, 2013 22:13:26 --

Руст
В последнем задании числа натуральные

[Руст]

DjD USB в сообщении #801751 писал(а):

А что если первое уравнение решать в целых числах...

существенно не изменится. Добавится только х=-у=+-1.

[individa]

Что это Вы тут понаписали?
Чушь какую то!
Это всё потому что маниакальная депрессия и истерика. И постоянно баните не разобравшись.
Вот пожалуйста какой результат!
3-е уравнение это вообще надо решать бинарную квадратичную форму в общем виде.
Рисовать тут бесполезно всё равно забанят поэтому зайдите на форум Академгородка в раздел по летающим тарелкам.
Тема: реклама удалена

[Deggial]

individa, бан за оскорбление участников форума, за бессодержательное сообщение и необоснованную саморекламу.

[Батороев]

1) $ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{y^2}=1$

$ x^2+xy+y^2=x^2y^2$

$ x^2+2xy+y^2=x^2y^2+xy$

$4(x+y)^2+1= 4x^2y^2+4xy+1$

$4(x+y)^2+1=(2xy+1)^2$

$1=(2xy+1)^2-4(x+y)^2$

Единицу в натуральных числах разложить на разность квадратов невозможно.

[DjD USB]

Батороев, Супер!
Я по другому решал. Решал квадратное уравнение и значение дискриминанта зажимал между двумя квадратами.