Доказать, что мат ожидание конечно

[R_e_n]

Добрый день. Помогите, пожалуйста, с задачкой:

Пусть случайная величина X такова, что$ \lim_n \frac {P(|X|>2n)} {P(|X|>n)} < \frac 1 2 $. Доказать, что тогда $ E|X| < \infty$.

Я думаю тут надо какой-то признак сходимости применить, только какой не знаю
$E|X|=2\int_0^{+\infty}x d(P(x))$

[ИСН]

Я тоже так думаю, поэтому не надо признак.
Смотрите, если предел величины меньше 1/2, то это что значит для самой величины? Может она быть равна 1/4? или 3/4? или вообще другими словами?

[Ms-dos4]

Если $\[M[\xi ] < \infty \]$, то $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {P(\xi \ge n)} \le M[\xi ] \le 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {P(\xi \ge n)} \]$ для любой неотрицательной с.в. Сходимость этого ряда равносильна тому, что у вас конечное мат. ожидание.

[R_e_n]

ИСН в сообщении #801461 писал(а):

Я тоже так думаю, поэтому не надо признак.
Смотрите, если предел величины меньше 1/2, то это что значит для самой величины? Может она быть равна 1/4? или 3/4? или вообще другими словами?

$\lim_{n\to+\infty}P(X \geqslant n)=0$ так?

Не правильно понял вопрос, да может равняться и 1/4 и 3/4 при некоторых начальных $n$, при больших может равняться 1/4, 3/4 не может


-- 15.12.2013, 17:51 --

Ms-dos4 в сообщении #801462 писал(а):

Если $\[M[\xi ] < \infty \]$, то $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {P(\xi \ge n)} \le M[\xi ] \le 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {P(\xi \ge n)} \]$ для любой неотрицательной с.в. Сходимость этого ряда равносильна тому, что у вас конечное мат. ожидание.

Пока не получается доказать сходимость суммы ряда, а откуда следует эта формула?

[R_e_n]

Может наведете на мысль, что дальше делать? Как можно доказать

[ИСН]

Пойдём окольным путём.
1. Вы знаете какую-нибудь величину, у которой нет матожидания?
2. И чему же у неё равен тот предел?

[provincialka]

Я вроде писала тут большое сообщение! Пропало. Наверное, не из той вкладки отослала
Попробую снова, покороче.

R_e_n в сообщении #801472 писал(а):

ИСН в сообщении #801461 писал(а):

Смотрите, если предел величины меньше 1/2, то это что значит для самой величины? Может она быть равна 1/4? или 3/4? или вообще другими словами?

Не правильно понял вопрос, да может равняться и 1/4 и 3/4 при некоторых начальных $n$, при больших может равняться 1/4, 3/4 не может

Пусть, например, предел некоей величины равен $a<1/2$. Тогда при больших $n$ эта величина если и будет больше $a$, то чуть-чуть. Более того, при достаточно больших $n$ она будет меньше 1/2.
Итак, при $n>n_0$ имеем $\frac {P(|X|>2n)} {P(|X|>n)} < \frac 1 2 $, то есть $P(|X|>n)>2 P(|X|>2n)$. А что можно сказать о вероятности $P(n<|X|\le 2n)$?
Может, это поможет.

[R_e_n]

provincialka в сообщении #802506 писал(а):

А что можно сказать о вероятности
$P(n<|X|\le 2n)$?

$P(n<|X|\le 2n)=P(|X|\le 2n)-P(n<|X|)=1-P(|X|> 2n)-P(|X|>n) \leqslant 1-3P(|X|> 2n)$
или
$1-\frac 3 2 P(|X|>n) \leqslant P(n<|X|\le 2n)\leqslant 1-3P(|X|> 2n)$

ИСН в сообщении #802483 писал(а):

1. Вы знаете какую-нибудь величину, у которой нет матожидания?

$P(X=n)=\frac 1 {2n^2} при n \geqslant 1 и 0 иначе $

ИСН в сообщении #802483 писал(а):

2. И чему же у неё равен тот предел?

$\lim_n \frac {P(|X|>2n)} {P(|X|>n)}=\frac 1 2$

Если теперь взять $P(X=n)=\frac 1 {2n^{2+\varepsilon}}$, тогда мат ожидание будет конечным при этом предел будет меньше $\frac 1 2$. Тут теперь надо добавить какую нибудь волшебную фразу для завершения доказательства

[provincialka]

R_e_n в сообщении #802548 писал(а):

$P(n<|X|\le 2n)=P(|X|\le 2n)-P(n<|X|)=1-P(|X|> 2n)-P(|X|>n) \leqslant 1-3P(|X|> 2n)$

Я не это имела в виду. У нас есть вероятность больших $X$, т.е. бОльших $n$. И еще в 2 раза бОльших.
Имеем $P(n<|X|\le 2n)=P(|X|>n)-P(|X|> 2n)>P(|X|> 2n)$

Сейчас убегаю. Думаю, где-то на этом пути можно показать, что вероятности с ростом $n$ убывают достаточно быстро.

[ИСН]

Волшебная фраза будет как-то типа "раз предел величины строго меньше 0.5, то и сама величина с какого-то места будет меньше 0.5, и даже меньше 0.49, а значит, $P(X=n)$ спадает быстрее, чем..."
0.49 здесь условно; поймите, что на самом деле должно стоять на его месте.

[R_e_n]

provincialka в сообщении #802557 писал(а):

умаю, где-то на этом пути можно показать, что вероятности с ростом $n$ убывают достаточно быстро.

У меня получалось $P(|X|>n)$ ограничить гиперболой, площадь, которой на бесконечности расходится. И интуитивно кажется, что любая функция убывающая быстрее, чем гипербола будет сходиться, но доказать этого я не смог

[ИСН]

Потому что это не так; но неважно.
Как ещё сказать. Вот если бы у нас было $\frac{P(|X|>2n)}{P(|X|>n)} < \frac14$, то Вы бы смогли как-нибудь ограничить хвост (лучше, чем гиперболой)?

[R_e_n]

$ \lim_n \frac{P(|X|>2n)}{P(|X|>n)} < \frac 1 2 \to \exists n_0, \forall m>n_0 \exists \varepsilon>0$, что

$\frac{P(|X|>2m)}{P(|X|>m)}<\frac 12 - \varepsilon$

Рассмотрим случайную величину $Y$, такую что
$P(|Y|=n)=\frac 1{2n^{2+\alpha}}, n \geqslant 1, \alpha>0 $

Для нее $\frac{P(|Y|>2n)}{P(|Y|>n)}=\frac 1{2^{1+\alpha}}$

Выберем $\alpha$ таким, что

$\frac{P(|X|>2m)}{P(|X|>m)}<\frac 12 - \varepsilon<\frac{P(|Y|>2m)}{P(|Y|>m)}=\frac 1{2^{1+\alpha}}<\frac 12 - \frac {\varepsilon}2<\frac 12 $

Откуда $\log_2(\frac 1{1-\varepsilon})<\alpha<\log_2(\frac 1{1-2\varepsilon})$.
Тут хочется сказать, что $\sum {P(|Y|>n)}<+\infty \to \sum {P(|X|>n)}<+\infty$, но в этом я пока до конца не уверен.

ИСН в сообщении #802572 писал(а):

Вот если бы у нас было $\frac{P(|X|>2n)}{P(|X|>n)} < \frac14$, то Вы бы смогли как-нибудь ограничить хвост (лучше, чем гиперболой)?

Если я правильно посчитал, то весь хвост начиная с момента m будет меньше $2\sqrt{m}$ (это если $\frac{P(|X|>2n)}{P(|X|>n)} = \frac14$)

[ИСН]

Я гну примерно в ту же сторону: как бы нам нахлобучить нашу величину каким-нибудь $P(X>n)\le\frac{const}{n^{1+\alpha}}$