Задача про падения массы m в центр поля.

[Gunter54]

Найти время падения массы m в центр поля $U=\frac{-\alpha}{r^6}$ с расстояния R, если ее полная
энергия равна нулю, а начальная скорость перпендикулярна направлению на центр. Нарисовать
эффективный потенциал и фазовую траекторию для радиального движения частицы.
Ответ:$T=\sqrt\frac {m}{8\alpha}R^4$

Записал закон сохранения импульса: $\frac{mV_k^2}{2}=\frac{\alpha}{R^6}$ и затем выразил $V_k$. Дальше не понимаю что и как делать. Помогите решить пожалуйста.

[DimaM]

Пишите закон сохранения момента импульса. Из него совместно с ЗСЭ можно выразить радиальную скорость.
Дальше интегрировать.

[Gunter54]

DimaM в сообщении #802070 писал(а):

Пишите закон сохранения момента импульса. Из него совместно с ЗСЭ можно выразить радиальную скорость.
Дальше интегрировать.

Нашел момент импульса $L=m\sqrt \frac {2\alpha}{m}\frac {1}{R^2} $, и еще вопрос будет ли здесь энергия вращательного движения$E_v_r$? то есть $E_k+E_v_r+E_p =0=\operatorname{const}$

[DimaM]

Gunter54 в сообщении #802087 писал(а):

и еще вопрос будет ли здесь энергия вращательного движения$E_v_r$?

В каком-то смысле будет, только ее обычно пишут в виде $L^2/(2mr^2)$ и прибавляют к потенциальной.
Вводится эффективная потенциальная энергия

$$U_{eff}=U+\frac{L^2}{2mr^2},$$

и ЗСЭ записывается в виде $\dot{r}^2+U_{eff}=E.$

[Munin]

Теория изложена, например, в Б. В. Медведев "Начала теоретической физики" ч. 1 п. 10.