Геодезическая кривизна Окружности

[DonGo]

Помогите разобраться с геодезической кривизной окружности на верхней полуплоскости Лобачевского.
topic50675-15.html тут разбирали окружность, но в формуле(выражение величины, характеризующие поведение кривой в некоторой точке в метрике Пуанкаре через соответствующие величины в евклидовой метрике) была допущена ошибка в знаке. При исправлении, будет не верно, тк кривизна окружности должна быть постоянной и не зависеть от параметра. я правильно понимаю, что нам нужна натуральная параметризация? Окружность там параметризована не натурально, тк длина касательного вектора не равна 1

[svv]

Я автор, так что задавайте вопросы, будем вспоминать. Ошибки всегда возможны. Просьба: ткните поточнее в ту формулу, которая кажется неправильной (скопируйте, процитируйте).

[DonGo]

svv в сообщении #533286 писал(а):

Пользуясь этими соотношениями, можно представить $k^i$ в виде
$k^i=\frac{du^i}{ds} + \Gamma^i_{jk} u^j u^k=\frac{d\bar s}{ds}\,\frac{du^i}{d\bar s}+\Gamma^i_{jk} u^j u^k=y\frac d{d\bar s}\left(y\bar u^i\right)+y^2 \Gamma^i_{jk} \bar u^j \bar u^k=$
$=y^2\frac {d\bar u^i}{d\bar s}+y\bar u^i\frac {dy}{d\bar s}+y^2 \Gamma^i_{jk} \bar u^j \bar u^k=y^2 \bar k^i +y\bar u^i \bar u^y+y^2 \Gamma^i_{jk} \bar u^j \bar u^k$

Тут в последнем равенстве вы заменили только $\frac {d\bar u^i}{d\bar s}$ на $\bar k^i$, а $\bar k^i=\frac {d\bar u^i}{d\bar s}+\Gamma^i_{jk} \bar u^j \bar u^k$

[Munin]

svv
А слабо всё это переписать из модели Пуанкаре в модель псевдосферы в пространстве Минковского? У меня такое ощущение, что в ней формулы могут быть проще. И аналогичны сферической геометрии, что если и не плюс, то средство проверки результата на правильность.

[svv]

DonGo
Ну, здесь просто. Я там выше написал:

svv в сообщении #533286 писал(а):

Будем величины, относящиеся к евклидовой метрике, обозначать черточкой: $\bar g_{ik}, \bar u^i$, а к метрике Пуанкаре -- без черточки: $g_{ik}, u^i$.

Поэтому можно записать:
$\bar k^i=\frac{d\bar u^i}{d\bar s} + \bar\Gamma^i_{jk} \bar u^j \bar u^k$
Отличается от Вашего варианта тем, что $\bar\Gamma^i_{jk}$ тоже с черточкой. Но, если Вы посмотрите на формулы, Вы увидите, что $\bar\Gamma^i_{jk}$ с черточкой у меня почему-то нигде не встречается. А как Вы думаете, почему? Подсказка в цитате.

Параметризация почти везде используется натуральная ($s, \bar s$). Понятно, каждая будет натуральной в «своей» метрике.

Вы там ещё про неверный знак говорили, уточните, где, что.

Munin
Я воспринял. Ну, только не в том смысле, что обязуюсь реализовать. В том смысле, что смысл имеет.

[DonGo]

Спасибо за объяснение, вы правы А про знак говорила, потому что думала что вы не правильно заменили. Сейчас все понятно,там нет ошибок.

Мне бы хотелось вычислить кривизну окружности, по тому же способу, по которому вы вычисляли кривизну орицикла. Возникает вопрос как будет выглядеть для метрики Пуанкаре параметризация окружности? я так понимаю та параметризация, которая была указана для нее не является натуральной для метрики Пуанкаре, так как длина дуги не получается равной единице.

[svv]

Если я правильно понял, Вас интересует окружность (вернее, ее ближайший аналог) на плоскости Лобачевского: кривая, точки которой равноудалены в смысле метрики Лобачевского от некоторой центральной точки. А не то, что изображается окружностью на полуплоскости Пуанкаре (т.е. на листе бумаги).

Тогда берем английскую Википедию, статья Poincaré half-plane model:

Цитата:

A ''circle'' (curve equidistant from a central point) with center $(x, y)$ and radius $R$ is modeled by a circle with center $(x, y \cosh R)$ and radius $y \sinh R$.

Интересно 1. Всё-таки они и на полуплоскости Пуанкаре изображаются окружностями. Но не любыми, а специальными, с указанным соотношением центра и радиуса. Обратное неверно: окружность на полуплоскости Пуанкаре может изображать много чего из мира Лобачевского — и прямую, и окружность, и орицикл, и эквидистанту.
Интересно 2. Изображение центра окружности в смысле метрики Лобачевского $(a, b)$ не будет центром окружности на полуплоскости Пуанкаре в смысле метрики изображающего «листа бумаги» $(a, b\,\ch r)$.

Пользуясь наводкой, пишем параметрическое уравнение «окружности Лобачевского» на полуплоскости Пуанкаре:
$\begin{cases}x=b \,\sh r\,\sin\varphi+a\\y=b\,\sh r\,\cos\varphi+b\,\ch r\end{cases}$
Понятно, в этих уравнениях $\varphi$ не будет натуральным параметром в смысле метрики Лобачевского. Нужную замену $\varphi(s)$ еще предстоит найти.

[DonGo]

Для того чтобы вычислить натуральный параметр:

$$s=\int_{0}^{t} \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2} dx$$

Я правильно понимаю?

И еще у меня вопрос, откуда берется то, что центр окружности и радиус на полуплоскости Пуанкаре будет именно таким, как написано в Википедии?

-- 18.12.2013, 18:51 --

Я ошиблась, мы же на полуплоскости Пуанкаре, а для нее будет немного по другому

$$s=\int_{0}^{t} \sqrt{g_{11} \dot{x}^2+ g_{22}\dot{y}^2 } dx$$

[svv]

Да, теперь почти правильно, только переменная интегрирования здесь не $x$, а параметр $t$ (обычно не являющийся натуральным), с помощью которого задана кривая: $(x(t), y(t))$. В нашем случае это $\varphi$. Соответственно, и точки обозначают производную по $\varphi$. Пределы интегрирования можно пока не писать, чтобы потом иметь возможность удобного выбора точки, в которой $s=0$. Получается:
$\dot x=+b \,\sh r\,\cos\varphi$
$\dot y=-b\,\sh r\,\sin\varphi$
$g_{11}=g_{22}=\frac 1 {y^2}$
$g_{11} \dot{x}^2+ g_{22}\dot{y}^2=\frac{b^2\,\sh^2 r}{y^2}$
$s=\int \sqrt{\frac{b^2\,\sh^2 r}{y^2}}d\varphi=b\,\sh r\int\frac{d\varphi}{y(\varphi)}=\sh r\int\frac{d\varphi}{\ch r+\sh r\,\cos\varphi}$
$s=2\sh r\arctg[(\ch r-\sh r)\tg\frac \varphi 2]+C$
Если выбрать $C=0$, при $\varphi=0$ (верхняя точка окружности на полуплоскости) будет $s=0$. Нам это подходит.

Нам нужна не зависимость $s(\varphi)$, а наоборот, $\varphi(s)$. Точнее, нам надо выразить $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$ через $s$. Из последнего уравнения получаем:
$\tg\frac \varphi 2=\frac q p$,
где $q=\tg\frac{s}{2\sh r}, p=\ch r-\sh r$.
Отсюда (помогают формулы универсальной тригонометрической подстановки)
$\sin \varphi=\frac{2pq}{p^2+q^2}$
$\cos \varphi=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}$

И окончательно уравнения окружности с натуральным параметром (после небольших преобразований):
$\begin{cases}x=b \,\sh r\,\frac{2pq}{p^2+q^2}+a\\y=b\,\sh r\,\frac{2p^2}{p^2+q^2}+bp\end{cases}$
где $q=\tg\frac{s}{2\sh r}, p=\ch r-\sh r$. От $s$ зависит только $q$.

Проверьте в качестве упражнения, что параметр $s$ действительно натуральный. Это сводится к проверке
$\left(\frac{dx}{ds}\right)^2+\left(\frac{dy}{ds}\right)^2=y^2$

DonGo в сообщении #803164 писал(а):

откуда берется то, что центр окружности и радиус на полуплоскости Пуанкаре будет именно таким, как написано в Википедии?

Понятия не имею. Но так как в Вики дана формула для расстояния между двумя точками с заданными Пуанкаре-координатами:
$\operatorname{dist} (\langle x_1, y_1 \rangle, \langle x_2, y_2 \rangle) = \operatorname{arch} \left( 1 + \frac{ {(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2 }{ 2 y_1 y_2 } \right) \,,$
это легко проверить. Вернее, свести Ваш вопрос к проверке этой формулы для расстояния.

[DonGo]

Спасибо большое! Вы мне очень помогли разобраться с этим :)

[svv]

Рад был помочь.