Задача про полупространство. Электродинамика.

[Tesla_bot]

Бесконечное однородное полупространство с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ граничит с вакуумом. Диалектрик заряжен с объемной плотностью $\rho=\rho_0e^{-\alpha x} . Определить потенциал и напряженность поля в вакууме и в диалектрику.

На сколько я понимаю $\rho=\rho_0e^{-\alpha x} - это закон, по которому заряжен диалектрик, который мне всё портит. Решил аналогичную почти, наверное, задачу:
Точенный заряд q находится на плоскости отделяющей вакуум от безграничного однородного диалектрика с проницаемостью $\varepsilon$. Найти модуль D и E во всем пространстве.
Я нашел E, $E = \frac {D_0}{\varepsilon_0}=\frac {q}{2\pi(1+\varepsilon)\varepsilon_0r^2}$. Ну и $D, D_0$ тоже нашел, не буду писать.
Потом через теорему Гаусса хотел найти как-то $\rho$ и понял, что бесполезно.

В общем... помогите. Подкиньте идею или каким методом можно решить эту задачу. Заранее спасибо.

[warlock66613]

Можно "в лоб", то есть через закон Гаусса в дифференциальной форме.

[Munin]

Tesla_bot в сообщении #801842 писал(а):

Решил аналогичную почти, наверное, задачу:
Точенный заряд q

Нет. В вашей задаче заряд распределён по всей плоскости координат $y,z,$ а не точечный. Так что аналогичная задача будет - с поверхностным зарядом $\sigma$ на границе вакуума и диэлектрика.

И шо-то мне навскидку кажется, что это некорректная задача...

[nikvic]

Munin в сообщении #801875 писал(а):

И шо-то мне навскидку кажется, что это некорректная задача...

Нужна "естественная" разность пределов на бесконечностях. Как в задаче с поверхностным зарядом $\sigma$ на границе вакуума и диэлектрика.

[Munin]

Да, а откуда её взять?

-- 16.12.2013 11:29:17 --

Впрочем, всё, что нам нужно - сказать, что где-то рано или поздно диэлектрик кончается, а другого заряда там нет. Но это всё-таки тоже будет высосано из пальца, а не следовать из условий.

[nikvic]

Munin в сообщении #801884 писал(а):

Да, а откуда её взять?

Оттуда же, откуда берётся симметрия поля заряжённой плоскости. Так сказать, из симметрии пространства

[Munin]

У поля заряженной плоскости нет симметрии, если пространство вокруг неё несимметрично: с одной стороны вакуум, с другой - диэлектрик. Думайте ещё.

[nikvic]

Munin в сообщении #801934 писал(а):

Думайте ещё.

Трясти надо. Афтора темы

[Munin]

Для начала, я трясу вас. Чтобы вы уловили ошибочность своего аргумента. Ну а потом уже автора темы. Впрочем, он наверняка невинная овечка, которой злой преподаватель некорректную задачу задал.

[nikvic]

Munin в сообщении #801945 писал(а):

Чтобы вы уловили ошибочность своего аргумента.

Пока что я вижу, какой должна быть константа в решении дифура. Вы - тоже. Ну и что? Хотите ещё поговорить?

[Munin]

nikvic в сообщении #801949 писал(а):

Пока что я вижу, какой должна быть константа в решении дифура.

И какой? И почему?

[nikvic]

Здесь достаточно сказано, чтобы доставить ТС удовольствие додумать самому.

[Alex-Yu]

Tesla_bot в сообщении #801842 писал(а):

Диалектрик заряжен с объемной плотностью $\rho=\rho_0e^{-\alpha x}

Прежде всего нужно понять, а что такое $x$. Это вдоль поверхности диэлектрика, или поперек? Если поперек, то банальность: одномерный диффур (Пуассона). Точнее два: в вакууме и диэлектрике. А потом сшивка решений.

[Munin]

nikvic в сообщении #801964 писал(а):

Здесь достаточно сказано, чтобы доставить ТС удовольствие додумать самому.

Красивый способ уйти от ответа за свои слова. Надо взять на вооружение.

Alex-Yu в сообщении #801988 писал(а):

А потом сшивка решений.

В которой и проблема.

Alex-Yu в сообщении #801988 писал(а):

Это вдоль поверхности диэлектрика, или поперек? Если поперек, то банальность

А если вдоль, то мы вляпываемся в ещё большие неприятности (см. задачу "посчитать потенциал в пространстве при $\forall x,y,z\quad\rho=\mathrm{const}\ne0$" - здесь у нас будет такое четвертьпространство).

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #802028 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #801988
писал(а):
А потом сшивка решений.
В которой и проблема.

Проблема? И где она тут??? Непрерывность потенциала плюс непрерывность нормальной компоненты ${\bf D}$. И все. Еще проще переопределить потенциал: ${\bf D} = - {\rm grad}\,\phi$. Тогда непрерывность и самого потенциала и его производной. Просто это все. И, что важнее, абсолютно стандартно. Два уравнения сшивки и ровно два параметра (коэфф. перед линейным решением --- т.е. решением однородного уравнения). Линейная система двух алгебраических уравнений. Это проблема??? Ну тогда я не знаю что не проблема