Исследовать на устойчивость с помощью функции Ляпунова

[1mperor]

Привет. У меня такая проблема. Не могу подобрать функцию Ляпунова для системы:
$ \left\{ \begin{aligned} \dot{x}= (y-x)^2 \\ \dot{y}=y^2-2xy+1 \\ \end{aligned} \right. $
Точки равновесия найти не проблема:
$\left\{ \begin{aligned} \ x=1 \\ \ y=1 \\ \end{aligned} \right. \left\{ \begin{aligned} \ x=-1 \\ \ y=-1 \\ \end{aligned} \right.$
Затем возникает вопрос о проверке устойчивости с помощью функции Ляпунова, с которой, собственно и возникли трудности.
Ещё нашел общий интеграл: $y^3-3y^2x+3yx^2-3x=C$

[VPro]

Вы хотите найти функцию Ляпунова чтобы доказать именно устойчивость? Если да, то это напрасные хлопоты.

[Oleg Zubelevich]

Так ,значит система гамильтонова ( с точностью, можнт, до перепараметризации времени.) Лень считать, но в типичном случае если положение равновесия устойчиво, то этот первый интеграл и есть функция Ляпунова ,доказывающая это. Неустойчивость доказывается с помощю первого приближения.

[1mperor]

Хлопоты, может и напрасные, но что поделать, если у меня задание такое. А первый интеграл не может быть функцией Ляпунова, ибо он знаконеопределен

[1mperor]

И первое приближение не дает ничего, так как собственые числа нули.

[Oleg Zubelevich]

положение равновесия $(1,1)$ неустойчиво. посмотрите геометрию линий уровня первого интеграла в окрестности данного положения равновесия. придумать функцию Ляпунова будет проблематично

[1mperor]

в окрестности точек $(1,1)$ и $(-1,-1)$ траектории ведут себя как параллельные оси ординат линии.

[1mperor]

Решил сам. Помогите проверить верность моего решения.
Для точки $(1,1)$ выбираем область $G: x>y, y>1$, тогда, $(1,1)\in \partial G, \partial-$обозначает границу. Выбираем функцию Ляпунова: $V(x,y)=(x-1)(x-y); V=0 $ при $(x,y)\in \partial G$. Считаем полную производную по времени функции Ляпунова по определению: $\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial x}(y-x)^2+\frac{\partial V}{\partial y}(y^2-2xy+1)$
Произведя элементарные вычисления, приходим:
$\frac{dV}{dt}=(x-y)^3+(x-1)^2(x+1)$
Тогда, в области $G: \frac{dV}{dt}>0$
Таким образом все условия теоремы Четаева выполнены и точка $(1,1)$ - неустойчива по Ляпунову.
Абсолютно аналогично для точки $(-1,-1)$, только меняя все знаки на противоположные, т.е. $G: x<y, y<-1, V(x,y)=(1-x)(x-y)$

[Oleg Zubelevich]

вроде все так, только там в определении области опечатка

[1mperor]

А как должно быть?

[Oleg Zubelevich]

pardon, все нормально

[1mperor]

Окей, спасибо.