открытое множество в пространстве

[ivan145]

В пространстве l2 рассмотрим множество M тех последовательностей,все координаты которых положительны.Будет ли M открыто?

[Oleg Zubelevich]

нет

[ivan145]

Oleg Zubelevich а можно это доказать,почему оно не открыто

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

ivan145, замечание за неиспользование $\TeX$ при наборе формул. $l_2$ набирается так:

$l_2$

[mihailm]

Наверно надо что то подсказать.
ivan145, берете любую точку с положительными координатами, потом ее эпсилон окрестность, как думаете до отрицательных значений по некоторым координатам дотянетесь?

[ivan145]

до отрицательных координат дотянусь,можно ли этот процесс поподробнее описать

[Otta]

ivan145 в сообщении #801353 писал(а):

до отрицательных координат дотянусь,можно ли этот процесс поподробнее описать

Если Вы поняли, что дотянетесь, то поняли и как дотянетесь.
Почему Вы решили, что дотянетесь?

[ivan145]

возьму элемент, в котором все нули, а один равен ε на месте номер N, и покажу, что при больших N вычитание ЭТОГО элемента из моего даст на этом месте N отрицательное число.Но как этот процесс правильно описать

[Otta]

ivan145 в сообщении #801369 писал(а):

возьму элемент, в котором все нули, а один равен ε на месте номер N, и покажу, что при больших N вычитание ЭТОГО элемента из моего даст на этом месте N отрицательное число.Но как этот процесс правильно описать

$\varepsilon$ произвольно, вычитание такого произвольного элемента $l_2$ из элемента Вашего множества - процесс неописуемый. И главное, что получится? если $\varepsilon$ очень-очень маленькое, то нужная координата останется положительной.

[ewert]

ivan145 в сообщении #801369 писал(а):

Но как этот процесс правильно описать

Надо просто построить формальное отрицание открытости:

"$\exists\vec x\in M:\ (\forall\varepsilon>0)\ \exists\vec y\in N_{\vec x,\varepsilon}:\ \vec y\not\in M.$"

Ну так и очевидно, что такой игрек найдётся -- достаточно в качестве его взять вот как раз икс с обнулённой достаточно далёкой компонентой. Причём это верно даже не для "хоть одного" икса, а вообще для каждого.

[Deggial]

ivan145 в сообщении #801369 писал(а):

ε ... N... N ... N

ivan145, предупреждение за неоформление формул $\TeX$ом.