Осциллятор Ван дер Поля с вынужденными колебаниями и хаос

[Rock`n`Rolla]

Собственно есть уравнение Ван дер Поля
${d^2x \over dt^2}-\mu(1-x^2){dx \over dt}+x= 0$
http://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Pol_oscillator

После замены:
$y_1 = x$
$y_2 = \dot x$
Получилось это:
$\dot y_1 = y_2.$
$\dot y_2 = \mu(1 - y_1^2)y_2-y_1$
методом Рунге-Кутта получил фазовый портрет и сами осцилляции (при $\mu = 0.2$):

Тут всё впорядке.

И теперь собственно основная задача с вынужденными колебаниями:
${d^2x \over dt^2}-\mu(1-x^2){dx \over dt}+x-A \cos(\omega t)= 0$
После той же замены:
$\dot y_1 = y_2.$
$\dot y_2 = \mu(1 - y_1^2)y_2-y_1 + Acos(wt)$
Как я понял - должен получиться странный и не предсказуемый аттрактор, что-то интересное, но получается примерно такое (при A = 1, w = 0.95, $\mu = 0.2$):


Где-то ошибка? Или что я должен сделать чтоб фазовый портрет стал "красивее"? Я не очень силён в диффурах, поэтому прошу помощи тут.

[Ms-dos4]

1)Что значит "красивее"? Что вы конкретно хотите увидеть?
2)Увеличьте $\[\mu \]$, это усилит "нелинейность". Попробуйте поставить что нибудь типа $\[A\cos (\omega t) = 1 \cdot \cos (2t)\]$ и $\[\mu = 8\]$. Начальные условия возьмите приблизительно $\[y(0) = 0\]$, $\[y'(0) = 2,5\]$. Где то "рядом" и должна быть хаотическая динамика осциллятора. Попробуйте немного поиграть с начальными условиями и/или характеристиками силы и осциллятора в районе этих значений.

[Oleg Zubelevich]

рисовать фазовый портрет неавтономной системы это занятие странное. тогда уж отображение за период рисуйте.
<затер>

[Ms-dos4]

Oleg Zubelevich
Мне что-то кажется что ТС интересуют как раз не малые значения $\[\mu \]$

[Rock`n`Rolla]

Ms-dos4

Цитата:

1)Что значит "красивее"? Что вы конкретно хотите увидеть?

Поэтому и в кавычках, потому как не знаю что я хочу увидеть . Вообще надо будет преподавателя спросить, что он ожидает увидеть в этой работе.
Но я примерно ожидал вот такое:
http://www.scholarpedia.org/article/Duffing_oscillator
Но наверное из модели Ван дер Поля такого не получится.

[Ms-dos4]

А вы внимательно прочтите как это получено.
P.S.Можете посмотреть здесь реализацию собственно отображения Пуанкаре в Mathematica 9.

[Oleg Zubelevich]

Будем рассматривать задачу теории возмущений при малом $\mu$

Предположим для начала, что $\omega^2\ne 1$. Тогда замена $x=y+\frac{A}{1-\omega^2}\cos\omega t$ приводит систему к виду $\ddot y+y=\mu f(t,y,\dot y)$, где $f$ периодическая функция $t$.
Переходим к системе уравнений первого порядка , введя переменную $p=\dot y$. После введения на плоскости $y,p$ полярных координат мы получим стандартную задачу теории возмущений, которую следует усреднить по времени, это уже даст какую-то содержательную информацию о поведении системы.

-- Вс дек 15, 2013 13:49:28 --

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #801362 писал(а):

Где то "рядом" и должна быть хаотическая динамика осциллятора.

специалисты по хаотической динамике подтянулись

[Rock`n`Rolla]

Ну или хотябы что-то похожее на аттрактор Лоренца. Предыдущий пример с осциллятором Дуффинга был не очень подходящим, вся эта динамика не обязательна, не будем усложнять .

Oleg Zubelevich в сообщении #801366 писал(а):

рисовать фазовый портрет неавтономной системы это занятие странное. тогда уж отображение за период рисуйте.
<затер>

Ну мне кажется что если аттрактор станет "интереснее" мы это и без учёта t на картинке заметим, разве нет?

Спасибо ответившим, пока попытаюсь покрутиться с тем что посоветовали.
Если кому нужно - могу кинуть свой код Matlab/Octave для рисования этого всего.

[Rock`n`Rolla]

Господа, достаточно хаотично?
Как этот аттрактор называется?

[Oleg Zubelevich]

я бы вам советовал термины "хатично", "атрактор" употреблять аккуратней. Поскольку качественного анализа системы не проводилось, то отдавайте себе отчет в том, что на картинке вы видите на самом деле сами-не-знаете-что. Существование аттрактора надо доказывать, а понятие "хаотичность " определяется индивидуально для каждой системы.

[sithif]

Если вам интересно потренироваться "рисовать" различные аттракторы: http://www.behance.net/gallery/MathRules-Strange-Attractors/7618879
Относительно простая теория по колебаниям: http://www.sgtnd.narod.ru/rus/index.htm

Если у вас задача задача ставиться так: для неавтономного Ван дер Поля найти самую нерегулярную (хаотичную) орбиту, то:
1) для различных н.у. можно строить сечения Пуанкаре, чем меньше сечение похоже на одномерный объект, тем более нерегулярна эта траектория.
Сейчас Вы строите проекцию для всех значений "времени", из этого ничего внятного не следует, хотя для системы 1.5 можно построить 3d картинку, там уже все будет видно.
2) если вам нужен некий количественный критерий, то ищите, например, показатель Ляпунова, чем он больше, тем более нерегулярна орбита.

[Munin]

Rock`n`Rolla в сообщении #802004 писал(а):

Господа, достаточно хаотично? :D

Глядя на график от $t,$ я бы сказал, что "на глаз" скорее не хаотично, а периодично. Ну и что, что предельный цикл замысловатый, это ещё не делает хаоса, как верно замечает Oleg Zubelevich.

[Oleg Zubelevich]

sithif в сообщении #802049 писал(а):

2) если вам нужен некий количественный критерий, то ищите, например, показатель Ляпунова, чем он больше, тем более нерегулярна орбита.

понятно, т.е. чем больше число $A$ в уравнении $\dot x=Ax$ тем его решение хаотичней

-- Пн дек 16, 2013 17:02:07 --

sithif в сообщении #802049 писал(а):

1) для различных н.у. можно строить сечения Пуанкаре, чем меньше сечение похоже на одномерный объект, тем более нерегулярна эта траектория.

это уже настолько тонко ,что просто не подлежит расшифровке

[sithif]

Цитата:

понятно, т.е. чем больше число $A$ в уравнении $\dot x=Ax$ тем его решение хаотичней

В линейных системах нет хаоса.

Цитата:

это уже настолько тонко ,что просто не подлежит расшифровке

[Oleg Zubelevich]

sithif в сообщении #802082 писал(а):

В линейных системах нет хаоса.

а что такое хаос?