Интересный интеграл

[TheNamelessMC]

$$\int_{0}^{\alpha} (x^2/e^{x-1}) dx$$

, где альфа плюс бесконечность.

[provincialka]

Это гамма-функция, умноженная на $e$

[ИСН]

У Вас буквы сверху от букв. Это так надо?

-- менее минуты назад --

(Оффтоп)

Сдаётся мне, что это плохо переписанное $x^2\over e^x-1$.

[provincialka]

ИСН, вы к кому обращаетесь? У меня все хорошо видно

-- 14.12.2013, 21:16 --

А! Может быть. А то уж слишком просто!

[Ms-dos4]

ИСН
Да и тогда ничего сложного. Выражается через полилогарифм при $\[z = 1\]$, а значит через значения дзета функции, т.е. если рассматриваем
$\[\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^2}}}{{{e^x} - 1}}dx} \]$

по определению имеем $\[{{\mathop{\rm Li}\nolimits} _s}(z) = \frac{1}{{\Gamma (s)}}\int\limits_0^\infty {\frac{{{t^{s - 1}}}}{{\frac{{{e^t}}}{z} - 1}}dt} \]$

тогда $\[{{\mathop{\rm Li}\nolimits} _3}(1) = \frac{1}{{\Gamma (3)}}\int\limits_0^\infty {\frac{{{t^2}}}{{{e^t} - 1}}dt} \]$

$\[\int\limits_0^\infty {\frac{{{t^2}}}{{{e^t} - 1}}dt} = \Gamma (3){{\mathop{\rm Li}\nolimits} _3}(1) = 2\zeta (3)\]$

(ну а то, что написал автор, действительно уж очень просто)

[provincialka]

Осталось дождаться ТС и спросить, что он имел в виду

[fedd]

Мне кажется, ТС не ошибся в функции. Она красивая, подобна функции плотности вероятности http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 3D0..10%29

Первообразная: $-(2+2x+x^2)\cdot e^{1-x}+C$

а определенный интеграл $2e$

О чем сыр-бор?

[Ms-dos4]

fedd
Слишком просто для "интересности"
$\[\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^2}}}{{{e^{x - 1}}}}dx} = e\int\limits_0^\infty {{x^2}{e^{ - x}}dx} = e\Gamma (3) = 2e\]$

[fedd]

Ms-dos4, в математике нет "неинтересных" задач. Все задачи интересные. Это не моя фраза - читал у кого-то из великих.

[fedd]

Ведь недаром ТС просил взять определенный интеграл с верхним пределом $\alpha$. Вы решили частный случай для бесконечного верхнего предела. Это, конечно, неинтересно. Интересно взять в общем виде, как я и сделал. В результате:

$I=\int \limits_0^{\alpha}\frac{x^2}{e^{x-1}}dx=2e-e \left (\alpha^2+2\alpha+2 \right ) \left [\ch(\alpha)-\sh(\alpha) \right ]$

При бесконечном $\alpha$ правая часть выражения обнуляется и ответ в итоге $I=2e$

[Otta]

fedd

(Оффтоп)

ну и чем же это интереснее? Потом, ТС совершенно явственно написал в стартовом сообщении, чему равно $\alpha$.

[fedd]

Otta, Вам неинтересно, а мне интересно. И что? Спор бессмысленный, пора закругляться.

[Otta]

fedd

(Оффтоп)

Так не я же спорю.

[fedd]

(Оффтоп)

Это замечательно!