интеграл по шару

[mimi12]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Подскажите, как решить задачу:
Посчитать интеграл по шару ||x||<=1 от отношения двух положительно-определенных квадратичных форм x'*A*x / x'*B*x,
где матрицы A и В заданы.

Заранее большое спасибо!

[Munin]

Для начала, записать:
||x||<=1 -> $\|x\|\le 1$
x'*A*x / x'*B*x -> $x'Ax/x'Bx$
A -> $A$
В -> $B$
чтобы это выглядело вот так: $\|x\|\leqslant 1,$ $x'Ax/x'Bx,$ $A,$ $B.$
Так на этом форуме положено.

[mimi12]

Прошу прощения!
Поправляюсь:

Нужно проинтегрировать по шару
$\|x\|\leqslant 1$
отношение квадратичных форм
$\dfrac{x^{\rm T}Ax}{x^{\rm T}Bx$}
с положительно-определенными матрицами
$A$ и $B$,
то есть, вычислить
$\int\limits_{\|x\|\leqslant1}\dfrac{x^{\rm T}Ax}{x^{\rm T}Bx$}dx

Заранее большое спасибо!

[mihailm]

(Оффтоп)

Правильнее назвать тему: интеграл на шару

[svv]

Матрица $A$ симметричная (а если нет, симметризовать, что не повлияет на значение квадратичной формы) и положительно определенная. Строим ортонормированный базис из её собственных векторов, $\{a_k\}$. Пусть $\lambda_k$ — соответствующие собственные значения. Тогда можно записать числитель чуть проще: $\sum\limits_k \lambda_k (a_k^T x)^2$. Аналогично поступаем с $B$, строим ортонормированный базис из её собственных векторов $\{b_k\}$ (собственные значения $\mu_k$). Если перейти к базису $\{b_k\}$, знаменатель будет еще проще: $\sum\limits_k \mu_k x_k^2$. Но поможет ли это взять интеграл...

[patzer2097]

(Оффтоп)

mimi12 в сообщении #799704 писал(а):

вычислить
$\int\limits_{\|x\|\leqslant1}\dfrac{x^{\rm T}Ax}{x^{\rm T}Bx$}dx

не то, чтобы тривиален даже случай $B=I$. Да что там, даже и $A=B=I$