Бесконечно вложенные радикалы

[Enot2]

Дана последовательность ${a_n}$; $a_n=\sqrt[n]{1+\sqrt[n+1]{1+\sqrt[n+2]{1+....}}}$
И, соответственно, нужно найти предел. Я правильно понимаю, что для начала нужно угадать предел,а после нужно найти какое-то равенство и дальше, по такому равенству показать, как такой корень получается благодаря бесконечному применению этого равенства?

[ИСН]

Какое-то угнетающее начало. Я пока что не понял, чему равен, да даже и существует ли хотя бы один (первый) член, а уж предел - - -

[gris]

Что если расписать соседние члены

$a_{n}=\sqrt[n]{1+\sqrt[n+1]{1+\sqrt[n+2]{1+\sqrt[n+3]{1+....}}}}$

$a_{n+1}=\sqrt[n+1]{1+\sqrt[n+2]{1+\sqrt[n+3]{1+\sqrt[n+4]{1+....}}}}$

и предположить, что каждый член, начиная с первого, существует как соответствующий предел?

[svv]

Хоть бы один существовал. Они все связаны $a_{n}=\sqrt[n]{1+a_{n+1}}$.

[Enot2]

То есть нам нужно доказать существование хотя бы одного элемента последовательности?

[venco]

Выбрав произвольное $a_n>0$ можно построить соответствующую последовательность в обе стороны:
$a_{n+1}=a_n^n-1$
$a_{n}=\sqrt[n]{a_{n+1}+1}$
т.е. предела не существует.

[Munin]

venco в сообщении #799224 писал(а):

Выбрав произвольное $a_n>0$ можно построить соответствующую последовательность в обе стороны:
$a_{n+1}=a_n^n-1$
$a_{n}=\sqrt[n]{a_{n+1}+1}$
т.е. предела не существует.

Простите, как из этого следует, что предела не существует?

[venco]

Если бы он существовал, то можно было бы выбрать только одно значение.

[gris]

Почему? Например, от первого члена при надлежащем его выборе можно вполне вытянуть цепочку вперёд достаточной длины. Предел, кажется, существует и равен хорошему числу. Не простому и не составному.
Да и аналитически вполне соответствует.
Правда, я строго не могу доказать

[Munin]

venco в сообщении #799253 писал(а):

Если бы он существовал, то можно было бы выбрать только одно значение.

Пусть для каждого $a_1$ предел существует и равен $f(a_1)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n.$
Что мешает быть $f(a_1)=\mathrm{const}_{a_1}$?

[ИСН]

venco в сообщении #799253 писал(а):

Если бы он существовал, то можно было бы выбрать только одно значение.

Очень может быть, что существует только одно начальное значение, с которого цепочка $a_{n+1}=a_n^n-1$ не убегает ни в минуса, ни в бесконечность.

[patzer2097]

gris в сообщении #799256 писал(а):

Почему? Например, от первого члена при надлежащем его выборе можно вполне вытянуть цепочку вперёд достаточной длины.

А разве $a_1$ у нас не задано как $\sqrt[1]{1+\sqrt[2]{1+\sqrt[3]{1+....}}}$? Этот предел существует, конечно, поскольку последовательность $\sqrt[1]{1}$, $\sqrt[1]{1+\sqrt[2]{1}}$, $\sqrt[1]{1+\sqrt[2]{1+\sqrt[3]{1}}}$, $\ldots$ не убывает и

$$\sqrt[2]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+....}}}\leqslant \sqrt[2]{1+\sqrt[2]{1+\sqrt[2]{1+....}}}<2.$$

gris в сообщении #799256 писал(а):

Предел, кажется, существует и равен хорошему числу. Не простому и не составному.

Ну конечно, ведь $a_n\leqslant\sqrt[n]{a_1}$.

[gris]

А ещё может быть колебательный процесс.
Если не надо находить первый член, то решение, по-моему, даже очевидно. А если надо, то только приближённо.

Разве первый член меньше двух? Там ошибка при переводе самого первого радикала в квадратный.

[patzer2097]

да в целом, решение вроде бы очевидно

gris в сообщении #799300 писал(а):

Разве первый член меньше двух? Там ошибка при переводе самого первого радикала в квадратный.

Первый член меньше трех, т.к. $\sqrt[2]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+....}}}\leqslant \sqrt[2]{1+\sqrt[2]{1+\sqrt[2]{1+....}}}<2,$ откуда $1+\sqrt[2]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+....}}}<3$.

[svv]

ИСН в сообщении #799296 писал(а):

Очень может быть, что существует только одно начальное значение, с которого цепочка $a_{n+1}=a_n^n-1$ не убегает ни в минуса, ни в бесконечность.

Так и есть. Начальное значение $a_1=2.51760...$ уникально.