Лин. алгебра

[karandash_oleg]

1) $A=\{a_{ij}\},B=\{b_{ij}\}$. Докажите, что из $A\cdot B=A+B$ следует $B\cdot A=A+B$ или опровергните это.

Умножение матриц некоммутативно (в общем случае), потому это неверно. Подойдет ли такая аргументация?

2) Пусть $A=\{a_{ij}\}$. Докажите, что $\lambda=1$ -- собств значение для $A$

А тут с чего можно начать? Можете подсказать идею, пожалуйста!

[provincialka]

1.

karandash_oleg в сообщении #798908 писал(а):

Умножение матриц некоммутативно, потому это неверно. Подойдет ли такая аргументация?

Не подойдет. Для некоторых матриц умножение перестановочно. Например, $A$ и $A$. Bли $A$ и $A^2$

2. С чего бы? Матрица $A$ какая? Любая, что ли?

[karandash_oleg]

provincialka в сообщении #798915 писал(а):

1.

karandash_oleg в сообщении #798908 писал(а):

Умножение матриц некоммутативно, потому это неверно. Подойдет ли такая аргументация?

Не подойдет. Для некоторых матриц умножение перестановочно. Например, $A$ и $A$. Bли $A$ и $A^2$

2. С чего бы? Матрица $A$ какая? Любая, что ли?

1) Имеется ввиду, что в общем случае некоммутативно!

2) Квадратная!

[provincialka]

1. Да я знаю! Но у вас же не общий случай. Кстати, в вашем случае следствие верно.
2. Кошмар какой! Ну ясно, что квадратная, у каких же еще собственные значения ищут. А что, по-вашему, 1 - собственное значение всех матриц? Может какая-то конкретная дана? Или свойство указано?

[mihailm]

A может из 1)? Тогда 2) должно звучать так: собственное значение точно не 1

[karandash_oleg]

provincialka в сообщении #798920 писал(а):

1. Да я знаю! Но у вас же не общий случай. Кстати, в вашем случае следствие верно.
2. Кошмар какой! Ну ясно, что квадратная, у каких же еще собственные значения ищут. А что, по-вашему, 1 - собственное значение всех матриц? Может какая-то конкретная дана? Или свойство указано?

1) А как это следствие начать доказывать, подскажите, пожалуйста!

2) Точно, забыл условие на матрицу накладывается $\forall j\;\; \sum_i a_{ij}=1$

[provincialka]

Так, давайте разбираться последовательно, по одной задаче. Начнем со второй. Что такое собственное значение матрицы?

[karandash_oleg]

provincialka в сообщении #798953 писал(а):

Так, давайте разбираться последовательно, по одной задаче. Начнем со второй. Что такое собственное значение матрицы?

Пусть задана квадратная матрица $A$.
Собственное значение -- это корень уравнения $\det(A-\lambda E)=0$

[provincialka]

Ну вот. А какому свойству будет удовлетворять матрица $A-\lambda E$, если $\forall j \sum\limits{_{i=1}^n}a_{ij}=1$?

[karandash_oleg]

provincialka в сообщении #798955 писал(а):

Ну вот. А какому свойству будет удовлетворять матрица $A-\lambda E$, если $\forall j \sum\limits{_{i=1}^n}a_{ij}=1$?

Сумма для элементов каждого столбца будет равна нулю?

[provincialka]

Верно. И что это значит? Сформулируйте то же свойство не в терминах столбцов, а в терминах строк. Каково свойство строк матрицы $A-\lambda E$?
Кстати, с чем связано обращение некоего определителя в 0? Можно ли это проверить, не вычисляя сам определитель?

[karandash_oleg]

provincialka в сообщении #798966 писал(а):

Верно. И что это значит? Сформулируйте то же свойство не в терминах столбцов, а в терминах строк. Каково свойство строк матрицы $A-\lambda E$?
Кстати, с чем связано обращение некоего определителя в 0? Можно ли это проверить, не вычисляя сам определитель?

А потом, если к первой прибавить остальные, то в ней будут нули, потому определитель будет ноль? Так? И это все?

[provincialka]

Все. Переходим к первой задаче.
Нельзя ли как-то преобразовать первое равенство? Скажем, перенести все в одну сторону? Вынести общие множители?

[karandash_oleg]

provincialka в сообщении #798971 писал(а):

Все. Переходим к первой задаче.
Нельзя ли как-то преобразовать первое равенство? Скажем, перенести все в одну сторону? Вынести общие множители?

Спасибо!

1) Для квадратных обратимых матриц придумал такую штуку...

$$AB=A+B\Rightarrow AB-A=B\Rightarrow A(B-E)=B\Rightarrow A=A(B-E)\cdot (B-E)^{-1}=B(B-E)^{-1}$$

$$BA= B\cdot B(B-E)^{-1}\Rightarrow BA(B-E)= B\cdot B(B-E)^{-1}(B-E)\Rightarrow $$

$$\Rightarrow B^{-1}BA(B-E)= B^{-1}B\cdot B(B-E)^{-1}(B-E)\Rightarrow A(B-E)= B(B-E)^{-1}(B-E)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow AB-A=A(B-E)\Rightarrow AB-A=AB-A$$

Правда не ясно -- зачем...

[provincialka]

Ну, первый шаг правильный. Дальше пошел разброд. В частности, нельзя применять обратные матрицы, если их существование не доказано. Ладно, подскажу. Перенесите все на левую сторону и добавьте слева и справа слагаемое $E$.