Китайская теорема об остатках

[Ward]

Здравствуйте!

Пусть идеалы $I_1, I_2, \dots, I_m\subset A$ коммутативного кольца $A$ с единицей таковы, что $I_i+I_j=A$ для всех $i\neq j.$ Показать, что $I_1I_2\dots I_m=I_1\cap I_2\cap \dots \cap I_m$ и построить изоморфизм $A/ I_1I_2\dots I_m \longrightarrow (A/I_1)\times \dots \times (A/ I_m)$

Равенство я доказал без проблем. А вот построить отображение и доказать, что он изоморфизм у меня не получается. Помогите пожалуйста так как довольно сыроват в таких темах.

[Urnwestek]

$ x \to (x \mod I_1, x \mod I_2, x\mod I_3, ..., x \mod I_m)$

[Ward]

А что в данном контексте означает $x \mod I_1$?

[VAL]

Ward в сообщении #798780 писал(а):

А что в данном контексте означает $x \mod I_1$?

Смежный класс по идеалу $I_1$, порожденный элементом $x$.

[Ward]

Я не знаток в алгебре, но полагаю, что это элемент вида $x+I_1=\{x+y| y\in I_1\}$. Верно?

[Urnwestek]

Ward в сообщении #798784 писал(а):

Я не знаток в алгебре, но полагаю, что это элемент вида $x+I_1=\{x+y| y\in I_1\}$. Верно?

Верно.
Значком $A/I$ — обычно обозначают факторкольцо по идеалу. Факторкольцо — это какое-то разбиение кольца $A$ на классы эквивалентности сохраняющее хорошие свойства. Вот тот класс эквивалентности, в котором лежит $x$ и обозначают $x \mod I$, или, как вы сказали, $x+I$.

[Ward]

А как показать, что он изоморфизм?

[VAL]

Ward в сообщении #798787 писал(а):

То, что это отображение гомоморфизм вроде как понятно. Тут операции сохраняются.
А как показать, что он изоморфизм?

Найдите ядро? Тогда сразу станет ясно, что это мономорфизм. Ну а то, что это эпиморфизм, следует из Китайской теоремы об остатках попарной взаимной простоты идеалов.

[Ward]

$\text{Ker}f=\{x: f(x)=0\}$
Нам надо найти теперь ядро нашего отображения. Это множество $x\in A$ таких, что $(x+I_1, \dots, x+I_m)=(0, \dots, 0)$. Верно?

[VAL]

Ward в сообщении #798794 писал(а):

$\text{Ker}f=\{x: f(x)=0\}$
Нам надо найти теперь ядро нашего отображения. Это множество $x\in A$ таких, что $(x+I_1, \dots, x+I_m)=(0, \dots, 0)$. Верно?

Как-то неаккуратно записано. Слева набор классов, справа - элементов.