Критерий Лебега (Зорич VI.1.3г)

[Urnwestek]

Задача:
Докажите криетрий Лебега интегрируемости по Риману. Функция $f$ ограничена и непрерывна на $[a,b]$ почти всюду титтк $f$ интегрируема по Риману.
Решение:
1) Сперва, учитывая пункт в (его я решил, так что буду на него опираться), запишем задачу в эквивалентной формулировке: функция $f$ ограничена и непрерывна на $[a,b]$ почти всюду титтк $f$ ограничена на $[a,b]$ и для любых $\varepsilon > 0, \delta > 0$ множество точек $[a,b]$ в которых колебание функции больше, чем $\varepsilon$ можно покрыть конечной системой интервалов $K(\varepsilon,\delta)$, сумма длин которых меньше, чем $\delta$.
2) Вспомним, что функция непрерывна в точке титтк колебание в точке равно 0.
3) Докажем, что если существует конечная система интервалов, удовлетворяющая требованиям из задачи, то функция непрерывна почти всюду. Пусть $K = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} K(\frac{1}{2^n},\frac{\delta}{2^n})$. Легко видеть, что $K$ — система интервалов, сумма длин интервалов из $K$ меньше, чем $\delta$, и $K$ покрывает все точки отрезка $[a,b]$ в которых колебание $f$ не равно нулю. В силу произвольности $\delta$ заключаем, что множество точек разрыва функции $f$ — меры ноль по Лебегу.

А вот в другую сторону как доказать не знаю. Понятно, что можно по определению множества меры нуль потребовать покрытие интервалами $K(\delta)$ точек, в которых функция имеет ненулевое колебание, суммарной длиной меньше, чем $\delta$, но оно не факт что будет конечным. Как быть?

[SpBTimes]

Так. Вы напишите, пожалуйста, что уже точно известно, что вы доказали, и что вообще требуется в данный момент. Далеко не каждый будет открывать Зорича.

-- Пн дек 09, 2013 19:09:14 --

А, про интервалы понял. Покажите что мн-во замкнуто в вашем отрезке, т.е. к тому же и ограничено, а знаичт компактно, а значит...

[svv]

... справедлива лемма о ...

[Urnwestek]

SpBTimes в сообщении #798336 писал(а):

Так. Вы напишите, пожалуйста, что уже точно известно, что вы доказали, и что вообще требуется в данный момент. Далеко не каждый будет открывать Зорича.

Ну, основное, что известно:
$f$ — интегрируема по Риману по определению — существует и конечен $\lim\limits_{\lambda(P) \to 0} \sum\limits_{i=1}^n f(\zeta_i) \Delta x_i$, где $P$ — это какое-то разбиение отрезка $[a,b]$, т.е. точки $a<x_1< ... < x_{n-1} <b$, под $\Delta x_i$ понимают длину отрезка $[x_{i-1}, x_{i}]$, под символом $\Delta_i$ — сам отрезок $[a,b]$, $\zeta_i$ — какая-то точка на отрезке $\Delta_i$. Под символом $\lambda(P)$ — понимают минимальное из чисел $\Delta x_i$ для данного $P$ и называют это параметром разбиения $P$. Под символом $\lambda(P) \to 0$ понимают базу на множестве всех разбиений отрезка $[a,b]$, где элемент $B_p$ этой базы — множество всех разбиений отрезка $[a,b]$ у которых параметр меньше, чем $p$.
Напомню, что символом $\omega(f;E)$ обозначают колебание функции $f$ на множестве $E$, то есть $\omega(f;E) = \sup\limits_{x_1,x_2 \in E} |f(x_1)-f(x_2)|$.
Колебанием в точке $a$ функции $f$ называют число $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \omega(f;[a-\varepsilon,a+\varepsilon])$

Доказанные необходимые и достаточные признаки интегрируемости:
$f$ — интегрируема титтк $\lim\limits_{\lambda(P) \to 0} \sum\limits_{i=1}^n \Delta x_i \omega(f;\Delta_i) = 0$.
$f$ — интегрируема титтк $f$ — ограничена и $\sup\limits_{P} s(P) = \inf\limits_{P} S(P)$, $s(P)$ и $S(P)$ — нижние и верхние интегральные суммы Дарбу.
$f$ — интегрируема титтк $f$ ограничена на $[a,b]$ и для любых $\varepsilon > 0, \delta > 0$ существует разбиение $P$ на котором сумма длин тех отрезков разбиения, на которых колебание функции больше $\varepsilon$ меньше $\delta$.
$f$ — интегрируема титтк $f$ ограничена на $[a,b]$ и для любых $\varepsilon > 0, \delta > 0$ множество точек $[a,b]$ в которых колебание функции больше, чем $\varepsilon$ можно покрыть конечным числом интервалов, сумма длин которых меньше, чем $\delta$.

Надо доказать, что $f$ — интегрируема титтк $f$ ограничена на $[a,b]$ и непрерывна почти всюду.

[svv]

Лемма о конечном покрытии.

[SpBTimes]

Urnwestek
Теперь ясно. Указания тоже даны :)

[Urnwestek]

svv, SpBTimes
Да, спасибо, замкнутость постараюсь доказать самостоятельно.