Кривая второго порядка

[RikkiTan1]

Доброго времени суток! Есть уравнение кривой второго порядка

$$x^2-2xy+5x=0$$

надо привести его к каноническому виду. Построил матрицу А.

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \\ \end{bmatrix} $$

След этой матрицы

$$I_1=1$$

Определитель

$$I_2=-1$$

Расширенная матрица A

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 5/2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 5/2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Определитель

$$I_3=-5/2$$

Начало новой системы координат (0;5/2).
Далее сделал параллельный перенос системы координат и получил уравнение

$$x'^2-2x'y'=0$$

Делаю поворот системы координат
Нашел $\tg2\alpha=-2$; $\sin\alpha=\frac{1+\sqrt5}{\sqrt{10+2\sqrt5}}$; $\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{10+2\sqrt5}}$

$$x'=\frac{1}{\sqrt{10+2\sqrt5}}(2x''-(1+\sqrt5)y''))$$

$$y'=\frac{1}{\sqrt{10+2\sqrt5}}((1+\sqrt5)x''+2y''))$$

Подставил это значения в

$$x'^2-2x'y'=0$$

И получилось

$$\frac{-4\sqrt5}{10+2\sqrt5}x''^2+\frac{10+6\sqrt5}{10+2\sqrt5}y''^2=0$$

Потом начал приводить исходное уравнение к каноническому виду с помощью инвариантов

$$\begin{bmatrix} 1-\lambda & -1 \\ -1 & -\lambda \\ \end{bmatrix}$$

$$\lambda_1=\frac{1+\sqrt5}2$$

$$\lambda_2=\frac{1-\sqrt5}2$$

Подставил в формулу

$$\lambda_1x''^2+\lambda_2y''+\frac{I_3}{I_2}=0$$

И получилось, что в первом случае свободный член равен 0, а во втором(с помощью инвариантов) - нет. Подскажите, пожалуйста, где я ошибся)

[Oleg Zubelevich]

а полный квадрат ваыделить не пробовали?

[RikkiTan1]

Надо обязательно двумя способами: с помощью преобразования координат и с помощью инвариантов. А вообще, выделить полный квадрат - имеется в виду вынести x?

[Утундрий]

Не вынести, а внести.

[Otta]

У Вас, чесслово, не поймешь, где с помощью инвариантов, а где без помощи.

RikkiTan1 в сообщении #797436 писал(а):

Потом начал приводить исходное уравнение к каноническому виду с помощью инвариантов

$$\begin{bmatrix} 1-\lambda & -1 \\ -1 & -\lambda \\ \end{bmatrix}$$

$$\lambda_1=\frac{1+\sqrt5}2$$

$$\lambda_2=\frac{1-\sqrt5}2$$

Где тут инварианты? Вы приводите квадратичную форму к диагональному виду, с помощью перехода в собств. базис. Но именно квадратичную, а что происходит с линейной частью, Вы посмотрели?