2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Относительно компактное множество.
Сообщение04.12.2013, 04:13 
Доказать, что относительно компактное в пространстве $l_2$ множество нигде не плотно в $l_2$.
Я так понял мне нужно взять произвольный открытый шар в $l_2$ и построить в нем другой открытый шар. в котором нет точек из $l_2$, но я не могу придумать как это сделать.

 
 
 
 Re: Относительно компактное множество.
Сообщение04.12.2013, 07:02 
в бесконечномерном линейном нормированном пространстве замкнутый шар некомпактен

 
 
 
 Re: Относительно компактное множество.
Сообщение04.12.2013, 07:47 
Ой, я тут перепутал: надо найти шар в котором нету точек данного относительно компактного множества.

 
 
 
 Re: Относительно компактное множество.
Сообщение04.12.2013, 11:38 
Slow в сообщении #796092 писал(а):
надо найти шар в котором нету точек данного относительно компактного множества.

Это легко: надо просто взять любой шарик где-нибудь подальше. Но к делу это отношения не имеет.

Надо наоборот: доказать, что любая окрестность любой точки этого множества содержит хотя бы одну точку, не принадлежащую замыканию этого множества. А на этот вопрос исчерпывающе ответил Oleg Zubelevich.

 
 
 
 Re: Относительно компактное множество.
Сообщение05.12.2013, 01:32 
То есть я беру открытый шар, потом строю в нем замкнутый шар меньшего радиуса, он не компактен, значит в нем есть последовательность не имеющая сходящейся подпоследовательности, но если бы в этом замкнутом шаре были бы только точки из данного относительно компактного пространства, то такой последовательности бы не существовало, а значит существует точка не из этого пространства. Так?

 
 
 
 Re: Относительно компактное множество.
Сообщение07.12.2013, 03:42 
Остался только вопрос всегда ли я смогу найти замкнутый шар внутри открытого шара?

 
 
 
 Re: Относительно компактное множество.
Сообщение07.12.2013, 11:00 
Slow в сообщении #796464 писал(а):
То есть я беру открытый шар,

Где?

 
 
 
 Re: Относительно компактное множество.
Сообщение08.12.2013, 14:36 
Ну я рассуждал так: множество A называется нигде не плотным в метрическом пространстве X, если A не плотно ни в каком открытом шаре этого пространства, то есть для любого открытого шара этого пространства должно выполняться что он не является подмножеством замыкания A, то есть в любом открытом шаре из $l_2$ должна лежать точка не принадлежащая замыканию A.
То есть шар я беру из $l_2$.

 
 
 
 Re: Относительно компактное множество.
Сообщение08.12.2013, 18:27 
Задача решена. Спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group