Неотрицательные частные производные и монотонность

[Mikhail Sokolov]

Пусть $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ - локально липшицевая функция. По теореме Радемахера она дифференцируема почти всюду в смысле меры Лебега на $\mathbb{R}^n$. Предположим, что для любого $i \in \{1,...,n\}$ частная производная $\frac {\partial f(x)} {\partial x_i$} почти всюду (в смысле меры Лебега на $\mathbb{R}^n$) неотрицательна. Следует ли из этого, что $f$ не убывает по каждому из аргументов? Для $n=1$ это верно.
Спасибо.

[svv]

Наивное рассуждение: фиксируем все аргументы, кроме одного $x_k$. Получаем функцию одного аргумента $g(x_k)=f(x_1, ..., x_k, ..., x_n)$. Частная производная $\frac{dg}{dx}$ почти всюду неотрицательна. Условия для $n=1$ выполнены. Получаем, что $g$ не убывает по своему единственному аргументу, т.е. $f$ не убывает по $k$-му аргументу.

Могут быть какие-то подводные камни?

[Mikhail Sokolov]

UPD. Возможный подводный камень состоит в том, что для фиксированных $x_1,...,x_{k-1},x_{k+1},...,x_n$ множество точек $\{x_k \in \mathbb R:$ функция $f$ дифференцируема в точке $(x_1,...,x_n)\}$ может иметь нулевую лебегову меру в $\mathbb R$.

[svv]

(Оффтоп)

В этих вопросах я совершенно не разбираюсь, а поговорить хочется, не удовлетворите любопытство?

Mikhail Sokolov в сообщении #796983 писал(а):

множество точек $\{x_k \in \mathbb R:$ функция $f$ дифференцируема в точке $(x_1,...,x_n)\}$ может иметь нулевую лебегову меру в $\mathbb R$.

А нельзя ли это исключить таким рассуждением?: Функция $f$ локально липшицева, значит, её сужение на прямую, получаемую фиксацией всех $x_i$, кроме $x_k$, тоже локально липшицево (верен ли этот шаг?). Тогда по теореме Радемахера $g$ дифференцируема почти всюду.

[Mikhail Sokolov]

(Оффтоп)

Напротив, это я плохо разбираюсь.

Да, вы правы: $g$ локально липшицева и дифференцируема п.в. Но как доказать, что ее производная п.в. неотрицательна?
(Если $A$ - множество полной меры в $\mathbb{R}^n$ (в нашем случае - множество точек, в которых $\frac {\partial f} {\partial{x_k}}$ неотрицательна), то при фиксированных $x_1,...,x_{k-1},x_{k+1},...,x_n$ множество $\{x_k \in \mathbb{R}: (x_1,...,x_{k-1},x_k,x_{k+1},...,x_n) \in A \}$ может не быть множеством полной меры в $\mathbb{R}$).

[lyuk]

I. $n=2$.
1) Достаточно рассмотреть случай, когда функция определена и липшецева на квадрате.
2) Пусть функция абсолютно непрерывна относительно каждой переменной. Тогда сужение функции на каждую вертикаль и горизонталь есть интегралом от своей производной.
3) По теореме Фубини функция возрастает почти для всех вертикалей и горизонталей.
4)Осталось перейти к пределу и получить строгую монотонность на каждой горизонтали и вертикали.

II. Для любого $n$ рассуждаем аналогично, используя в п. 4) тот факт, что множество полной меры на паралелепипеде, которое в пересечении с каждой прямой, паралельной оси, -- замкнуто, совпадает с паралелепипедом.

P.S. Если убрать условие липшицевости (или абсолютную непрерывность) задача становится по-моему сложнее.

[sup]

Мне кажется, что проще всего воспользоваться усреднением. Пусть имеется последовательность гладких, положительных $\delta_n(x) \to \delta(x)$. Положим $f_n(x) = \delta_n(x)*f(x)$. Поскольку свертка коммутирует с дифференцированием, то $f_n(x)$ гладкая и ее частные производные неотрицательные. А значит $f_n(x)$ монотонна по любому своему аргументу. Осталось перейти к пределу.

[lyuk]

to sup
Для того, чтобы доказать коммутируемость свертки, нужно дифференциировать по частям. А для этого нужны дополнительные свойства производной, которых априори нет.

[sup]

Ну да, классическая производная довольно неудобный объект. Вот уж обобщенные производные куда "лучше". Ну так давайте докажем, что эти самые обобщенные производные есть и они почти всюду совпадают с классической. (Короче, разберемся с тем самым интегрированием по частям).
Можно, конечно, зарядить "тяжелую артиллерию", заметив, что после усреднения получаются гладкие функции с той же самой константой Липшица. А значит их частные производные ограничены. А посему можно выбрать подпоследовательность усреднений такую, что производные сходятся *-слабо, а значит и у исходной функции есть обобщенные производные. Потом еще что-то ... Но можно совсем просто. Я рассмотрю лишь одномерный случай, поскольку рассуждения в многомерном случае ничем не отличаются.
Пусть $\varphi(x)$ - гладкая финитная функция. Рассмотрим интеграл

$$\int \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\varphi(x)dx = \int f(x)\frac{\varphi(x) - \varphi(x-h)}{h}dx$$

Устремим $h \to 0$. Правая часть ясно куда сходится. А как же левая часть? А с левой частью тоже порядок. В силу условия Липшица, подынтегральное выражение по модулю ограничено функцией вида $L\varphi(x)$. По теореме Лебега можно переходить к поточечному пределу. Вот и нужная нам обобщенная производная, которая, как оказывается, почти всюду совпадает с классической.

[lyuk]

to sup
Если честно, я не очень понимаю, как Вы доказываете нужное свойство. Если Вы работаете с обобщенными функциями, то тут есть два момента. Во-первых, монотонность не имеет своей прямой интепретации для обобщенной функции. Во-вторых, вернуться назад от обобщенной функции к класической можно только почти всюду на плоскости. А весь смысл задачи какраз в том, чтобы от положительности приозводной почти всюду на плоскости получить это свойство на каждой горизонтали и вертикали.

[sup]

Не знаю, что за свойство Вы имеете в виду.
Пусть $\varphi(x) \geqslant 0$ - гладкая финитная функция. Я Вам только что показал, что
$\frac {\partial}{\partial x_i}( \varphi * f) = \varphi * (\frac {\partial}{\partial x_i} f ) \geqslant 0$
Значит $\varphi * f$ монотонна по всем своим аргументам. Теперь можно использовать усреднения.

[lyuk]

sup в сообщении #797442 писал(а):

Вот и нужная нам обобщенная производная, которая, как оказывается, почти всюду совпадает с классической.

Вот я и не понимаю зачем нужна обобщенная производная. Кроме того, обобщенная производная не всегда почти всюду совпадает с классической.

А так, в обшем, подход понятен. Хотя непонятно работает ли он для функции абсолютно непрерывной относительно каждой переменной и имеющей почти всюду положительные частные производные. Тем более для функции просто с положительными частными производными.

[sup]

Вот прям-таки обобщенная производная (суммируемая) именно для этой задачи не нужна. Как я уже говорил, достаточно установить монотонность усреднений. Но при доказательстве этой монотонности было по сути доказано существование обобщенных производных класса $L_{\infty}$ и то, что они п.в. совпадают с классической. А это уже, можно сказать, "мы попали в колею". В частности есть коммутирование свертки с производной и тп. Мыслить такими категориями, на мой взгляд, гораздо проще, чем каждый раз мучительно соображать, как использовать наличие классической производной п.в.
Я вовсе не спорил с Вашим решением, и прямо написал, что на мой взгляд такой подход проще.

Что касается "мощности" такого подхода, то просто положительности производных никак не достаточно. В этом случае утверждение просто неверно. Классический контрпример - непрерывная неконстантная функция, у которой производная п.в равна 0.
Абсолютная непрерывность. Ну да, в лоб такой трюк с разностными производными не пройдет. Нужна какая-то модификация. Но обобщенные производные из класса $L_1$ все равно должны существовать. Так что сама по себе идея рассуждать в терминах функций, обладающих суммируемыми обобщенными производными вполне разумна. Как только мы докажем, что эти самые обобщенные производные совпадают с классическими - дело в шляпе.

[lyuk]

Вот ведь как у Вас получается. Один подход -- "в колею", а другой -- "мучительно соображать". А заканчивается тем, что что-то там какое-то "должно существовать". Тем самым Вы какбы говорите, что метод по-любому работает. Значит, сначала используем, а потом аргументируем, если спросят (Вы же в первом посте ничего о предельном переходе и теореме Лебега не сказали). Я соверешенно не против обобщенных функцый и Вашего решение. Только в таких задачах использовать их нужно очень аккуратно.

В более общем случае с класическим контрпримером все понятно. Но я имел ввиду (сформулировал не четко) функции, которые имеют всюду частные производные, положительные почти всюду.