2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Построение на комплексной плоскости.
Сообщение05.12.2013, 11:10 
Добрый день, уважаемые участники форума!
Задача, которая заставила меня обратиться к вам имеет следующую формулировку:
Изобразить все $z \in C$, заданные формулой:
1)$z=\ln(\frac 1 {z-i})$

2)$\arg (\frac {z+1}{z-i}) = 0$

С первым пунктом я могу начать разбираться:
$z=\ln(\frac 1 {z-i})  \Leftrightarrow    z=- \ln(z-i)  \Leftrightarrow   z + \ln(z-i) = 0 $
Ну можно еще логарифм разложить:
$z+\ln\sqrt {z^2+1}+i \arg(z-i) = 0 $ (Вроде нам нужна главная часть логарифма, в задаче он с маленькой буквы написан). А вот что дальше - я не знаю :-(
PS Про вторую мне вообще писать нечего, не поймите неправильно, но задачи давались по принципу "ну придумайте что-нибудь"

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение05.12.2013, 15:28 
Насчет 1) корректировка под логарифмом вместо z действительный параметр t :facepalm:

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение05.12.2013, 15:47 
Аватара пользователя
2-я задача решается переводом условия на геометрический язык. Ну, например:
- раз аргумент частного равен нулю, то числитель и знаменатель - два числа с противоположными аргументами.
- то есть, они изображаются векторами, углы которых по отношению к действительной оси равны, но отложены в разные полуплоскости.
и так далее.

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение05.12.2013, 16:11 
Munin, а я вот думал в ключе $\frac {z+1} {z-i} $ - действительное число. Строил в Wolframe - получил, что мнимая часть равна 0 в -1 и только.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+% ... F%28z-i%29
Опа, по ходу сообщения понял, что z там берется действительным..

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение05.12.2013, 16:19 
Аватара пользователя
$z$ берётся комплексным. Просто $z$ рассматривается как вектор. Соответственно, можно построить векторы для суммы $z$ и чего-то ещё. И рассматривать получившийся геометрический рисунок.

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение05.12.2013, 18:41 
Аватара пользователя
shukshin, Вы написали «в ключе», а что это значит? Две минуты думал, так и не понял, решил спросить.

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение05.12.2013, 19:27 
svv , эм... наверное я имел ввиду "решать, отталкиваясь от того факта, что аргумент вещественного числа равен 0", но очень торопился :D

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение05.12.2013, 19:38 
Не у всех действительных нулевой аргумент. Но думаю, если в нужном месте добавить нужное условие, то должно получиться что-то приятное.

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение05.12.2013, 21:12 
Otta, может кроме нуля.
Да, и в итоге я через разность аргументов рассмотрел:
$\arg \frac {z+1} {z-i} = \arg {z+1} - \arg {z - i} = 0$ то есть
$\arg (z+1) = \arg (z-i)$
Пусть $z = x + iy $, тогда из равенства аргументов $z+1, z-i $ следует
$\frac y {x+1} = \frac {y-1} x$ или же $y=x+1$, а там вспоминая, что такое x, y нетрудно и построить :D

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение05.12.2013, 21:17 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #796671 писал(а):
Не у всех действительных нулевой аргумент.
shukshin в сообщении #796710 писал(а):
Otta, может кроме нуля.
А вот и нет ;-) Какой аргумент у числа $-1$?

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение05.12.2013, 21:27 
Aritaborian , вот оно что :D буду учить матчасть

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение05.12.2013, 23:38 
Аватара пользователя
Чтобы с первой разобраться, напишите её условие правильно?

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение06.12.2013, 08:23 
Изобразить все $z \in C$, заданные формулой:
1)$z=\ln(\frac 1 {t-i})$, t - действительный параметр

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение06.12.2013, 08:46 
Аватара пользователя
Можно, например, выразить $t$ через $z$ и наложить условие действительности на полученное выражение. То есть что его сопряжённое равно ему самому.

 
 
 
 Re: Построение на комплексной плоскости.
Сообщение06.12.2013, 08:47 
Аватара пользователя
Тут тоже, наверное, надо идти "изнутри" выражения: сначала построить геометрическое место точек $t-i,$ потом $1/(t-i),$ и так далее.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group