Построение на комплексной плоскости.

[shukshin]

Добрый день, уважаемые участники форума!
Задача, которая заставила меня обратиться к вам имеет следующую формулировку:
Изобразить все $z \in C$, заданные формулой:
1)$z=\ln(\frac 1 {z-i})$

2)$\arg (\frac {z+1}{z-i}) = 0$

С первым пунктом я могу начать разбираться:
$z=\ln(\frac 1 {z-i}) \Leftrightarrow z=- \ln(z-i) \Leftrightarrow z + \ln(z-i) = 0 $
Ну можно еще логарифм разложить:
$z+\ln\sqrt {z^2+1}+i \arg(z-i) = 0 $ (Вроде нам нужна главная часть логарифма, в задаче он с маленькой буквы написан). А вот что дальше - я не знаю
PS Про вторую мне вообще писать нечего, не поймите неправильно, но задачи давались по принципу "ну придумайте что-нибудь"

[shukshin]

Насчет 1) корректировка под логарифмом вместо z действительный параметр t

[Munin]

2-я задача решается переводом условия на геометрический язык. Ну, например:
- раз аргумент частного равен нулю, то числитель и знаменатель - два числа с противоположными аргументами.
- то есть, они изображаются векторами, углы которых по отношению к действительной оси равны, но отложены в разные полуплоскости.
и так далее.

[shukshin]

Munin, а я вот думал в ключе $\frac {z+1} {z-i} $ - действительное число. Строил в Wolframe - получил, что мнимая часть равна 0 в -1 и только.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+% ... F%28z-i%29
Опа, по ходу сообщения понял, что z там берется действительным..

[Munin]

$z$ берётся комплексным. Просто $z$ рассматривается как вектор. Соответственно, можно построить векторы для суммы $z$ и чего-то ещё. И рассматривать получившийся геометрический рисунок.

[svv]

shukshin, Вы написали «в ключе», а что это значит? Две минуты думал, так и не понял, решил спросить.

[shukshin]

svv , эм... наверное я имел ввиду "решать, отталкиваясь от того факта, что аргумент вещественного числа равен 0", но очень торопился

[Otta]

Не у всех действительных нулевой аргумент. Но думаю, если в нужном месте добавить нужное условие, то должно получиться что-то приятное.

[shukshin]

Otta, может кроме нуля.
Да, и в итоге я через разность аргументов рассмотрел:
$\arg \frac {z+1} {z-i} = \arg {z+1} - \arg {z - i} = 0$ то есть
$\arg (z+1) = \arg (z-i)$
Пусть $z = x + iy $, тогда из равенства аргументов $z+1, z-i $ следует
$\frac y {x+1} = \frac {y-1} x$ или же $y=x+1$, а там вспоминая, что такое x, y нетрудно и построить

[Aritaborian]

Otta в сообщении #796671 писал(а):

Не у всех действительных нулевой аргумент.

shukshin в сообщении #796710 писал(а):

Otta, может кроме нуля.

А вот и нет ;-) Какой аргумент у числа $-1$?

[shukshin]

Aritaborian , вот оно что буду учить матчасть

[Munin]

Чтобы с первой разобраться, напишите её условие правильно?

[shukshin]

Изобразить все $z \in C$, заданные формулой:
1)$z=\ln(\frac 1 {t-i})$, t - действительный параметр

[provincialka]

Можно, например, выразить $t$ через $z$ и наложить условие действительности на полученное выражение. То есть что его сопряжённое равно ему самому.

[Munin]

Тут тоже, наверное, надо идти "изнутри" выражения: сначала построить геометрическое место точек $t-i,$ потом $1/(t-i),$ и так далее.