2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ряд Фурье для четной функции
Сообщение04.12.2013, 03:10 
Здравствуйте, уважаемые форумчане.

Возник вопрос по такой задачке:

Разложить функцию в ряд Фурье: $$f(x) = \left\{\begin{matrix}
-\frac{\pi}{4} , - \pi \leqslant x < -\frac{\pi}{4} \\ 
0 , -\frac{\pi}{4} \leqslant x < \frac{\pi}{4}\\ 
-\frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} \leqslant x \leqslant \pi
\end{matrix}\right.$$

Данная функция, вроде как, четная, то есть разлагается по косинусам.

Единственное что смущает, $f \left ( - \frac{\pi}{4} \right ) = 0 $, а $f \left ( \frac{\pi}{4} \right ) = - \frac{\pi}{4} $ ...

Верно ли полагать, что, так как функция четная, то она разлагается в ряд по косинусам, или правильно поступить как-то иначе?

Спасибо!

 
 
 
 Re: Ряд Фурье для четной функции
Сообщение04.12.2013, 03:45 
Аватара пользователя
А если переопределить функцию в "смущающей" точке, как думаете - что нибудь изменится?

 
 
 
 Re: Ряд Фурье для четной функции
Сообщение04.12.2013, 03:47 
Dan B-Yallay
Если переопределить, то да, изменится, так как при этом будет соблюдаться $f(x) = f(-x)$ для всех $x$ из области определения, и, соответственно, функция станет четной.

-- 04.12.2013, 04:52 --

Кстати, если честно посчитать $b_{n}$, то он получится равным нулю.

И тут два варианта:
1) Либо я как-то неправильно понимаю определение четной функции;
2) либо условие того, что $b_{n}=0$ несколько другое.

 
 
 
 Re: Ряд Фурье для четной функции
Сообщение04.12.2013, 09:21 
Аватара пользователя
Задумайтесь, как отличаются ряды Фурье двух функций, если сами эти функции совпадают везде, кроме одной точки (а в этой точке, положим, различаются на 1).

 
 
 
 Re: Ряд Фурье для четной функции
Сообщение04.12.2013, 14:43 
ИСН
Никак, но как бы обосновать тот факт, что я буду раскладывать функцию, которая отличается от заданной.

 
 
 
 Re: Ряд Фурье для четной функции
Сообщение04.12.2013, 15:29 
Аватара пользователя
Именно так, что их ряды Фурье не отличаются.

 
 
 
 Re: Ряд Фурье для четной функции
Сообщение04.12.2013, 15:53 
provincialka
Понял, так и обоснуем :D

Dan B-Yallay
ИСН
provincialka
Спасибо за помощь, господа!

 
 
 
 Re: Ряд Фурье для четной функции
Сообщение04.12.2013, 20:05 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Limit79 в сообщении #796251 писал(а):
Спасибо за помощь, господа!
И дамы. :oops:

 
 
 
 Re: Ряд Фурье для четной функции
Сообщение04.12.2013, 22:54 
Аватара пользователя
В каком-то смысле Вы разлагаете не одну функцию, а сразу целый пучок (класс эквивалентности) функций. Каких? - а вот таких, у которых ряд одинаковый. Когда этот пучок называется чётным? А вот это вопрос...

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group