Ряд Фурье для четной функции

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.

Возник вопрос по такой задачке:

Разложить функцию в ряд Фурье:

$$f(x) = \left\{\begin{matrix} -\frac{\pi}{4} , - \pi \leqslant x < -\frac{\pi}{4} \\ 0 , -\frac{\pi}{4} \leqslant x < \frac{\pi}{4}\\ -\frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} \leqslant x \leqslant \pi \end{matrix}\right.$$

Данная функция, вроде как, четная, то есть разлагается по косинусам.

Единственное что смущает, $f \left ( - \frac{\pi}{4} \right ) = 0 $, а $f \left ( \frac{\pi}{4} \right ) = - \frac{\pi}{4} $ ...

Верно ли полагать, что, так как функция четная, то она разлагается в ряд по косинусам, или правильно поступить как-то иначе?

Спасибо!

[Dan B-Yallay]

А если переопределить функцию в "смущающей" точке, как думаете - что нибудь изменится?

[Limit79]

Dan B-Yallay
Если переопределить, то да, изменится, так как при этом будет соблюдаться $f(x) = f(-x)$ для всех $x$ из области определения, и, соответственно, функция станет четной.

-- 04.12.2013, 04:52 --

Кстати, если честно посчитать $b_{n}$, то он получится равным нулю.

И тут два варианта:
1) Либо я как-то неправильно понимаю определение четной функции;
2) либо условие того, что $b_{n}=0$ несколько другое.

[ИСН]

Задумайтесь, как отличаются ряды Фурье двух функций, если сами эти функции совпадают везде, кроме одной точки (а в этой точке, положим, различаются на 1).

[Limit79]

ИСН
Никак, но как бы обосновать тот факт, что я буду раскладывать функцию, которая отличается от заданной.

[provincialka]

Именно так, что их ряды Фурье не отличаются.

[Limit79]

provincialka
Понял, так и обоснуем

Dan B-Yallay
ИСН
provincialka
Спасибо за помощь, господа!

[provincialka]

(Оффтоп)

Limit79 в сообщении #796251 писал(а):

Спасибо за помощь, господа!

И дамы.

[ИСН]

В каком-то смысле Вы разлагаете не одну функцию, а сразу целый пучок (класс эквивалентности) функций. Каких? - а вот таких, у которых ряд одинаковый. Когда этот пучок называется чётным? А вот это вопрос...