Относительно компактное множество.

[Slow]

Доказать, что относительно компактное в пространстве $l_2$ множество нигде не плотно в $l_2$.
Я так понял мне нужно взять произвольный открытый шар в $l_2$ и построить в нем другой открытый шар. в котором нет точек из $l_2$, но я не могу придумать как это сделать.

[Oleg Zubelevich]

в бесконечномерном линейном нормированном пространстве замкнутый шар некомпактен

[Slow]

Ой, я тут перепутал: надо найти шар в котором нету точек данного относительно компактного множества.

[ewert]

Slow в сообщении #796092 писал(а):

надо найти шар в котором нету точек данного относительно компактного множества.

Это легко: надо просто взять любой шарик где-нибудь подальше. Но к делу это отношения не имеет.

Надо наоборот: доказать, что любая окрестность любой точки этого множества содержит хотя бы одну точку, не принадлежащую замыканию этого множества. А на этот вопрос исчерпывающе ответил Oleg Zubelevich.

[Slow]

То есть я беру открытый шар, потом строю в нем замкнутый шар меньшего радиуса, он не компактен, значит в нем есть последовательность не имеющая сходящейся подпоследовательности, но если бы в этом замкнутом шаре были бы только точки из данного относительно компактного пространства, то такой последовательности бы не существовало, а значит существует точка не из этого пространства. Так?

[Slow]

Остался только вопрос всегда ли я смогу найти замкнутый шар внутри открытого шара?

[ewert]

Slow в сообщении #796464 писал(а):

То есть я беру открытый шар,

Где?

[Slow]

Ну я рассуждал так: множество A называется нигде не плотным в метрическом пространстве X, если A не плотно ни в каком открытом шаре этого пространства, то есть для любого открытого шара этого пространства должно выполняться что он не является подмножеством замыкания A, то есть в любом открытом шаре из $l_2$ должна лежать точка не принадлежащая замыканию A.
То есть шар я беру из $l_2$.

[Slow]

Задача решена. Спасибо.