Сумма двух распределений

[Neytrall]

Здравствуйте, я пытаюсь посчитать распределение суммы $Z\sim Uniform(0,1)$ и $U\sim Gamma(2,2)$, но у меня не выходит правильный ответ.

$f_{U+Z}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_Z(x)f_U(z-x)dx=\int_{0}^{1}f_U(z-x)dx=\int_{0}^{1}4(z-x)e^{-2(z-x)}dx=$
$=e^{-2z}(e^2(2z-1)-2z-1)$
Это все верно, но если я пытаюсь проверить:
$\int_{y}^{\infty}e^{-2z}(e^2(2z-1)-2z-1)dz=1$, то выходит, что $y=0.605815-0.273002 i$
Но этого не может быть. Оба распределения положительные и непрерывные. Где я ошибся?

[Otta]

Аргумент у $f_U$ не везде положителен. Местами $z-x$ бывает меньше нуля.

[Neytrall]

Хорошо, а как тогда правильно выразить этот интеграл?

[Otta]

Посмотреть, при каких значениях аргумента чему именно равна вторая плотность. В роли аргумента выступает то, что выступает.

[provincialka]

Ну, видимо, надо разбить вычисление на два интеграла.

[Neytrall]

То есть:
$\int_{0}^{1}f_U(z-x)dx=\int_{0}^{1}f_U(z-x)dx|z\in[1,\infty)+\int_{0}^{1}f_U(z-x)dx|z\in[0,1)$
Или вы про другое разделение интеграла говорите?

[Otta]

Плотность Вашего гамма-распределения напишите, пожалуйста. Подробно, на всех участках прямой.

[Neytrall]

$U\sim \Gamma(2,2)$, поэтому
$f_U(z-x)=4ue^{-2(z-x)}, \text{ for } x\leq z$
$ \text{ and }$
$f_U(z-x)=0, \text{ for } x> z$

[provincialka]

Вот видите, вы сравниваете $z$ с $x$, а не с единицей.

[Neytrall]

Но ведь $z$ неизвестен на данном этапе.

[provincialka]

Ну, сравнивайте $x$ с $z$. Рассмотрите разные $z$, попадающие в $[0, 1]$ и не попадающие.

[Otta]

Neytrall в сообщении #795139 писал(а):

Но ведь $z$ неизвестен на данном этапе.

Конечно, он неизвестен. Вы ведь функцию от $z$ считаете.