Разложить в ряд Маклорена для производной

[StrMth]

Вот такая функция $\arcsin\frac{2x}{1+x^2}$
Я взял производную, но получилась она какая-то страшненькая $f'(x)=\frac{2-4x+2x^{2}}{\sqrt{1-(\frac{2x}{1+x^{2}})^{2}}(1+x^{2})^{2}}$ что я делаю не так?

[gris]

А чего в ней страшненького? Хорошенькая. Только числитель немного не того. Откуда там первая степень икса взялась?
Ну ещё можно в радикал $1+x^2$ засунуть. Всё дробей поменьше.

[StrMth]

Да, действительно, не будет там первой степени, ошибочка, числитель будет $2-2x^{2}$
Дальше расписать на 2 дроби и пытаться представить в виде похожим на стандартное разложение?

[ewert]

StrMth в сообщении #794678 писал(а):

Дальше расписать на 2 дроби и пытаться представить в виде похожим на стандартное разложение?

Дальше, если в принципе, то надо раскладывать дробь на простейшие (поскольку корень откровенно извлекается). Но если не в принципе, а фактически -- то ничего раскладывать не придётся, т.к. там практически всё напрочь сокращается. Единственное, что остаётся -- это только проявить некоторое внимание к знакам.

[Legioner93]

Разве не очевидно, что $\arcsin\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right)=2\arctg{x}$ ??

Мне универсальная тригонометрическая подстановка сразу в глаза бросилась...

-- Сб ноя 30, 2013 23:40:07 --

Вольфрам говорит, что они не везде равны, но на выражение для ряда Маклорена это повлиять никак не должно.
А вообще странные эти арктангенсы

Интересно, кстати, к какой из двух функций ряд в итоге будет сходится. Видимо ко второй, раз у первой такой некрасивый излом

[Otta]

Legioner93 в сообщении #794695 писал(а):

Интересно, кстати, к какой из двух функций ряд в итоге будет сходится. Видимо ко второй, раз у первой такой некрасивый излом

У него радиус сходимости 1.

[StrMth]

Эх, похоже опять где-то в вычислениях ошибся, а ошибку никак не могу найти, у меня после упрощения получилось $\frac{2\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1+x^2}(1+x^{2})}$

[gris]

$f'(x)=\dfrac{2-2x^{2}}{\sqrt{1-(\dfrac{2x}{1+x^{2}})^{2}}\cdot(1+x^{2})^{2}}=\dfrac{2-2x^{2}}{\sqrt{(1+x^{2})^{2}-4x^{2}}\cdot(1+x^{2})}=\dfrac{2-2x^{2}}{\sqrt{(1-x^{2})^{2}}\cdot(1+x^{2})}=\dfrac{2(1-x^{2})}{|1-x^{2}|\cdot(1+x^{2})}=...$

Надо аккуратно разобраться с модулем. И там всё сократится. В принципе, можно и через арктангенс, но осторожно.

[StrMth]

Придется рассматривать 2 случая? $|1-x^{2}|=1-x^{2},1-x^2\geqslant0$ и $|1-x^{2}|=-1+x^{2},1-x^2<0$

[provincialka]

Можно, но второй случай не входит в область сходимости.