2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Исследование ограниченности, интегралы Римана и Лебега
Сообщение29.11.2013, 23:30 
Здравствуйте.

Имеются две функции:

$f_1:[-2,1]\rightarrow\mathbb{R}, f_1(t)=\begin{cases}{(-\frac 1 2)}^n, t \in [\frac 1 {6^{n+1}}, \frac 1 {6^n})\setminus K, n \in \mathbb{N\ast}\\e^{sint}, t \in K\\\frac 1 {\sqrt{1-t}}, t \in [-2,0)\end{cases}$

$f_2:[-\frac 1 e,e]\rightarrow\mathbb{R}, f_2(t)=\begin{cases}\frac 1 {t+2}, t \in [-\frac 1 e,e]\setminus\mathbb{Q}\\arctg2t, t \in [-\frac 1 e,e]\cap\mathbb{Q}\end{cases}$

K в первой функции - множество Кантор, мера Лебега которого равна нулю.

Для обеих необходимо:
а) Выяснить, является ли функция ограниченной;
б) Определить, существует ли от нее собственный или несобственный интеграл Римана;
в) Найти интеграл Лебега, если он существует.

Буду благодарен за любую помощь.

 
 
 
 Re: Исследование ограниченности, интегралы Римана и Лебега
Сообщение29.11.2013, 23:47 
Вы что успели сделать? Тут и подсказывать-то нечего, задание чисто техническое, на "открыть конспекты". Какие затруднения?

 
 
 
 Re: Исследование ограниченности, интегралы Римана и Лебега
Сообщение29.11.2013, 23:51 
Аватара пользователя
А какие у вас идеи?
Ну например, известен ли критерий Лебега интегрируемости ф-ии по Риману? Несобственности никакой нет, так как все ф-ии ограничены. Ну т.к. они заданы на измеримых множествах, они и измеримы по Лебегу.

 
 
 
 Re: Исследование ограниченности, интегралы Римана и Лебега
Сообщение30.11.2013, 00:44 
Otta в сообщении #794376 писал(а):
Вы что успели сделать? Тут и подсказывать-то нечего, задание чисто техническое, на "открыть конспекты". Какие затруднения?


SpBTimes в сообщении #794379 писал(а):
А какие у вас идеи?
Ну например, известен ли критерий Лебега интегрируемости ф-ии по Риману? Несобственности никакой нет, так как все ф-ии ограничены. Ну т.к. они заданы на измеримых множествах, они и измеримы по Лебегу.


Известен.

Как, например, показать, что первая функия ограничена? С $e^{sint}$ все ясно, находится в пределах $\frac 1 e$ и $e$, с $\frac 1 {\sqrt{1-t}}$ тоже. Но в каких пределах содержится ${(-\frac 1 2)}^n$ ?

В случае со второй функцией:
С $\frac 1 {t+2}$ все ясно - множество $\mathbb{Q}$ счетно, его мера равна нулю, значит и множество точек разрыва в данном случае имеет меру ноль. А что с множеством точек разрыва $arctg2t$?

 
 
 
 Re: Исследование ограниченности, интегралы Римана и Лебега
Сообщение30.11.2013, 00:51 
Аватара пользователя
smog в сообщении #794390 писал(а):
Но в каких пределах содержится ${(-\frac 1 2)}^n$ ?


$n$ ведь натуральное, неужели не очевидно, как себя ведет? Или что такое $\mathbb{N}^{\ast}$?

smog в сообщении #794390 писал(а):
его мера равна нулю, значит и множество точек разрыва в данном случае имеет меру ноль.


Не понял. А ничего, что в каждой окрестности есть рациональные точки? Тут надо смотреть на функцию вторую, которая задана на мн-ве рац. точек. Иначе... Да вспомните хотя бы оскомину - ф-ю Дирихле...

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group