Исследование ограниченности, интегралы Римана и Лебега

[smog]

Здравствуйте.

Имеются две функции:

$f_1:[-2,1]\rightarrow\mathbb{R}, f_1(t)=\begin{cases}{(-\frac 1 2)}^n, t \in [\frac 1 {6^{n+1}}, \frac 1 {6^n})\setminus K, n \in \mathbb{N\ast}\\e^{sint}, t \in K\\\frac 1 {\sqrt{1-t}}, t \in [-2,0)\end{cases}$

$f_2:[-\frac 1 e,e]\rightarrow\mathbb{R}, f_2(t)=\begin{cases}\frac 1 {t+2}, t \in [-\frac 1 e,e]\setminus\mathbb{Q}\\arctg2t, t \in [-\frac 1 e,e]\cap\mathbb{Q}\end{cases}$

K в первой функции - множество Кантор, мера Лебега которого равна нулю.

Для обеих необходимо:
а) Выяснить, является ли функция ограниченной;
б) Определить, существует ли от нее собственный или несобственный интеграл Римана;
в) Найти интеграл Лебега, если он существует.

Буду благодарен за любую помощь.

[Otta]

Вы что успели сделать? Тут и подсказывать-то нечего, задание чисто техническое, на "открыть конспекты". Какие затруднения?

[SpBTimes]

А какие у вас идеи?
Ну например, известен ли критерий Лебега интегрируемости ф-ии по Риману? Несобственности никакой нет, так как все ф-ии ограничены. Ну т.к. они заданы на измеримых множествах, они и измеримы по Лебегу.

[smog]

Otta в сообщении #794376 писал(а):

Вы что успели сделать? Тут и подсказывать-то нечего, задание чисто техническое, на "открыть конспекты". Какие затруднения?

SpBTimes в сообщении #794379 писал(а):

А какие у вас идеи?
Ну например, известен ли критерий Лебега интегрируемости ф-ии по Риману? Несобственности никакой нет, так как все ф-ии ограничены. Ну т.к. они заданы на измеримых множествах, они и измеримы по Лебегу.

Известен.

Как, например, показать, что первая функия ограничена? С $e^{sint}$ все ясно, находится в пределах $\frac 1 e$ и $e$, с $\frac 1 {\sqrt{1-t}}$ тоже. Но в каких пределах содержится ${(-\frac 1 2)}^n$ ?

В случае со второй функцией:
С $\frac 1 {t+2}$ все ясно - множество $\mathbb{Q}$ счетно, его мера равна нулю, значит и множество точек разрыва в данном случае имеет меру ноль. А что с множеством точек разрыва $arctg2t$?

[SpBTimes]

smog в сообщении #794390 писал(а):

Но в каких пределах содержится ${(-\frac 1 2)}^n$ ?

$n$ ведь натуральное, неужели не очевидно, как себя ведет? Или что такое $\mathbb{N}^{\ast}$?

smog в сообщении #794390 писал(а):

его мера равна нулю, значит и множество точек разрыва в данном случае имеет меру ноль.

Не понял. А ничего, что в каждой окрестности есть рациональные точки? Тут надо смотреть на функцию вторую, которая задана на мн-ве рац. точек. Иначе... Да вспомните хотя бы оскомину - ф-ю Дирихле...