Аксиоматичность условной вероятности

[shau-kote]

Всем доброго времени суток.

В процессе изучения теории вероятностей споткнулся о такой, незначительный вроде, момент.

Условная вероятность везде определяется как $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$.
Но как можно формулу для расчёта считать определением?

Предвидя аргумент "это определение, оно не доказывается и не спорь" (: , сформулирую своё непонимание ещё одним способом.
Я вижу два "определения" условной вероятностей:

• через её смысл - вероятность события A при наступившем событии B;
• через, собственно формулу, связывающую условную вероятность с вероятностью пересечения событий и вероятностью B;

Откуда, собственно, следует, что эти два понятия суть одно?..

Извиняюсь, если мой вопрос кому-то покажется глупым, но я предпочитаю разбираться в таких непонятных для себя моментах.
Спасибо за понимание и терпение.

[provincialka]

А формула классической вероятности $\frac mn$ вас не смущает?
В случае условной вероятности мы переходим к новому вероятностному пространству, равному $B$. Поэтому приходится проводить перенормировку: новые вероятности пропорциональны старым и $P(B)=1$.

[shau-kote]

Резонно.
Но такое рассуждение применимо только к классическому определению вероятности.

UPD
С другой стороны, если подумать, утверждение о пропорциональности вероятностей отнюдь не очевидное...

[provincialka]

Почему только к классическому? Аксиоматическое тем более подходит. Да и геометрическая вероятность вписывается.
Ну, а критерий истины - практика. Если модель работоспособна, т.е. проходит частотную проверку, можно ее использовать.

[ShMaxG]

Я думаю, что определение условной вероятности по формуле и "определение по смыслу" совпадают, потому что мы считаем, что относительные значения вероятностей событий не зависят от выбора пространства элементарных событий, т.е. считаем, что для любых событий $A_1 \subset B$ и $A_2 \subset B$ выполняется равенство

$$\[\frac{{{\bf{P}}\left( {{A_1}} \right)}}{{{\bf{P}}\left( {{A_2}} \right)}} = \frac{{{{\bf{P}}_B}\left( {{A_1}} \right)}}{{{{\bf{P}}_B}\left( {{A_2}} \right)}},\]$$

откуда легко получить

$$\[{{\bf{P}}_B}\left( A \right) = \frac{{{\bf{P}}\left( {A \cap B} \right)}}{{{\bf{P}}\left( B \right)}}.\]$$

Т.о. учет условия-события не оказывает влияния на относительное распределение вероятностей событий внутри условия-события.
P.S. Если исходное вероятностное пространство $(\Omega,\Sigma,\bf{P})$, то новым вероятностным пространством станет $(B,\Sigma_B,\bf{P_B})$, где $\Sigma_B = \{A \cap B| A \in \Sigma\}$.

Но с этим я согласен (только сейчас прочитал):

shau-kote в сообщении #792766 писал(а):

С другой стороны, если подумать, утверждение о пропорциональности вероятностей отнюдь не очевидное

provincialka в сообщении #792781 писал(а):

критерий истины - практика. Если модель работоспособна, т.е. проходит частотную проверку, можно ее использовать.

Не ясно, может ли являться это предположение следствием только логики или же это чисто экспериментальный факт?

[provincialka]

Помню, я рассказывала про бросание двух монет, знаете, с исходами ОО, ОР, РР. Обсуждали вопрос: равновероятны ли эти события? Конечно, стандартный подход говорит о том, что равновероятны упорядоченные пары ОО, ОР, РО, РР, так что $P(OP)=1/2$. Но один ученик "уперся рогом" и никак не хотел признавать этот факт. Почему нельзя потребовать, чтобы события ОО, ОР, РР были равновероятны?
Ну, теоретически говоря, мы можем построить это конкретное пространство событий именно так. Правда, это повлечет сложности в теории. Ну и что? Это проблема теории!

В общем, не помню, удалось ли мне его убедить, но, кажется, самой действенной проверкой здесь будет бросание монеты и подсчет частот.

[shau-kote]

provincialka в сообщении #792807 писал(а):

Почему нельзя потребовать, чтобы события ОО, ОР, РР были равновероятны?

Насколько я понимаю, мы полагаем, что это так. Для реальной монеты оно может и не совсем так.
С Вашим примером не поспоришь, но он наводит на любопытную мысль, что модель статистической вероятности вообще завязана н соответствии эксперименту. Это, кхм, непривычно.

ShMaxG в сообщении #792797 писал(а):

откуда легко получить

ShMaxG, я извиняюсь, а не могли бы Вы объяснить более подробно это "легко получить"?
Я несколько дней смотрел на эти две формулы, но так и не понял, как Вы перешли, от одной к другой.

[provincialka]

Положите $A_2=B, A_1=A\cap B$

-- 29.11.2013, 21:51 --

Насчет "полагаем" не поняла. Мы полагаем, что это неверно. Но можно придумать такой опыт, где ОО, РО, РР равновероятны. Только О и Р не будут независимы.