Комплексная экпонента и возведение в степень

[irygaev]

Здравствуйте!

Просветите, пожалуйста, меня в ТФКП. Наверняка этот вопрос имеет какое-то простое объяснение, но я не могу пока понять, и найти ничего не удалось.

Поскольку экспонента - это частный случай возведения в степень, то как и всякое другое комплексное возведение в степень она должна быть многозначной функцией. Однако, определённая через разложение в ряды, экспонента - однозначная функция.

Значит ли это, что комплексные экспонента и возведение в степень - это две разные функции? Почему тогда для записи экспоненты используется знак возведения в степень?

Пример:
Определение комплексного возведения в степень:
$a^b = e^{(\operatorname{Ln}(r) + i\varphi)b}$

Подставим $a = e = e \cdot e^{0i}$:

$e^b = e^{(\operatorname{Ln}(e) + 0i)b} = e^{(1 + 2\pi ni)b} = e^{b + 2\pi nbi} = e^b \cdot e^{2\pi nbi}$

Это выражение будет однозначно только при целом b, при рациональном b будет иметь несколько значений, а при иррациональном - бесконечно много.

Как этот вопрос решается в рамках ТФКП?

Спасибо.

[provincialka]

Насколько я знаю, это просто соглашение. Ведь у каждой многозначной функции можно выделить однозначную ветвь. Вот, например, $\arcsin$ и $\operatorname{Arcsin}$.

[irygaev]

В том то и дело, что тут есть различие между arcsin и Arcsin, между ln и Ln, а для экспоненты такие различия просто игнорируются получается.

[provincialka]

Есть некоторая неувязка. Но в реальных задачах обычно путаницы не возникает. Если хотите, пишите $\exp$ и $\operatorname{Exp}$

[Munin]

Дело даже не в том, что можно выделить однозначную ветвь. Дело в том, что для функций типа $\operatorname{Arcsin}$ и $\operatorname{Ln}$ можно непрерывно перейти с одного листа на другой, а выделение однозначной ветви типа $\arcsin$ и $\ln$ приводит к необходимости разрезов (выбираемых по произвольному соглашению). А вот для $\exp$ такого не происходит.

[Oleg Zubelevich]

не надо путать экспоненту $e^z$ с показательной функцией $a^z:=e^{z\mathrm{Ln}\, a},$. Первая определяется известно как и является однозначной аналитической функцией, вторая вообще не является аналитической функцией

[irygaev]

Oleg Zubelevich:
То есть всё-таки это разные функции? А почему они записываются одинаково? $e^z$ же может означать и то и другое.

Munin:
Не поясните вашу мысль? Как это отменяет необходимость разграничения двух функций?

[Munin]

irygaev в сообщении #794252 писал(а):

Не поясните вашу мысль? Как это отменяет необходимость разграничения двух функций?

Никак. Это объясняет, почему арксинусов и логарифмов по два (однолистный и многолистный), а экспонента - одна. Но экспонента - всё равно не в точности то же самое, что возведение в степень.

Можно считать, что обычно под возведением в степень подразумевается главное значение: $a^b = e^{(\ln(r) + i\varphi)b}.$ Переход на другой лист происходит, когда мы в выражении $a^b$ меняем основание, а не степень, так что при фиксированном основании заботиться о других листах не обязательно.

[arseniiv]

В конце концов, никто не мешает понимать $e^x$ как особую запись, не сводящуюся к $a^x \;[e/\!\!/a]$. Специальных случаев понимания нотации в математике куча. Например, $10$ не понимается как $1\cdot0$ с опущеным умножением.

[ewert]

irygaev в сообщении #794252 писал(а):

Munin:
Не поясните вашу мысль? Как это отменяет необходимость разграничения двух функций?

У экспоненты все ветви не сцеплены друг с дружкой. И ровно одна из них является вещественно- аналитической. Вот она-то и считается собственно экспонентой.

irygaev в сообщении #794150 писал(а):

Почему тогда для записи экспоненты используется знак возведения в степень?

Перефразируя provincialka: "Если нельзя, но очень хочется, то -- можно" (с)

[provincialka]

Со степенями вообще куча мороки, даже в вещественном случае. Например, корень кубический можно извелекать из отрицательного числа, а возводить в степень $1/3$ -нельзя. Или, например, функция $a^n$ не существует при $a=-3$, хотя выражение $(-3)^5$ не вызавает протестов.

[ewert]

provincialka в сообщении #794356 писал(а):

Например, корень кубический можно извелекать из отрицательного числа, а возводить в степень $1/3$ -нельзя.

Это лишь блажь, на которую после школы уже никто не обращает внимания.

[provincialka]

Демидович точно не обращает. Хотя формально это неверно.