2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос о существовании периодических решений нелинейных ДУ
Сообщение26.11.2013, 20:52 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Здравствуйте. Столкнулся с такой задачей.

Есть нелинейное ДУ вида $\ddot{x}=f(x,\dot{x},t)$, $x(t)$ -- вещественная функция времени. Нужно найти такие начальные условия $x(0), \dot{x}(0)$, при которых решение этого ДУ будет ограниченным (будет лежать в наперёд заданном интервале значений $\left\Vert x\left(t\right)\right\Vert <x_{max}\forall t\in\mathbb{R}$) и желательно периодическим. Понятно, что в общем случае эта задача неразрешима и вряд ли вообще в большинстве случаев имеет решение. Тем не менее, решить её как-то нужно.

Может быть кто-то знает научные публикации по этой теме на русском или английском языках?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о существовании периодических решений нелинейных ДУ
Сообщение27.11.2013, 12:18 
Заслуженный участник


03/01/09
1420
москва
Для некоторых $f$ это ДУ можно рассматривать как уравнение движения материальной точки под действием потенциальных и диссипативных сил. Можно использовать большой известный материал на эту тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о существовании периодических решений нелинейных ДУ
Сообщение27.11.2013, 18:24 
Аватара пользователя


30/07/10
254
mihiv, да, вот только нужно свести исходное уравнение к лагранжевому виду. А это вряд ли получится.

Вот, один из примеров
$
\ddot{r}=\frac{-n\text{sign}\left(\dot{w}+k\dot{r}\right)+g\sin\left(w+kr\right)+\ddot{w}\left(k\cos\left(w+kr\right)+1\right)}{\cos\left(w+kr\right)+k}$

$g,k,n $ - константы, $k>1$, $w(t)$ -- известная периодическая функция времени (численно заданная).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о существовании периодических решений нелинейных ДУ
Сообщение28.11.2013, 05:50 


02/11/08
1183
Хитрая у Вас задача - наверное только численно что-то можно сделать.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%27%3D-sin%28t%29*cos%28sin%28t%29%2B3x%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%27%3Dcos%28sin%28t%29%2B3x%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%27%3D%28cos%281%2B3x%29%2Bsin%28t%29%29%2F%282%2Bcos%28t%29%29 и периодическое решение для простого варианта
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%27%3Dcos%281%2B3x%29

Краевая задача - хотелось бы так $x(0)=x(T)=a,x'(0)=x'(T)=b$.
Можно построить семейство поверхностей при разных $T$ вида $F(a,b)=(a-x(T))^2+(b-x'(T))^2$, здесь $x(t)$ - численное решение задачи Коши при начальных данных $x(0)=a,x'(0)=b$. В Маткаде искал нули подобной функции для уравнения типа Матье - в принципе удавалось найти периодические решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о существовании периодических решений нелинейных ДУ
Сообщение29.11.2013, 12:19 
Заслуженный участник


03/01/09
1420
москва
Изменим исходное уравнение, добавив в правую часть дополнительное слагаемое: $(1-\frac 1k)\ddot w$. Интересно, что для этого нового уравнения можно найти серию периодических решений, т.к. после введения новой неизвестной функции $u=kr+w(t)$ получим для нее уравнение:$$\ddot u=k\dfrac {-n\text {sign}\dot u+g\sin u+\ddot w(k\cos u+1)}{\cos u+k}+k\ddot w$$Это ДУ имеет очевидно серию решений: $u=(2l+1)\pi , l=0,\pm 1,\dots $, или, возвращаясь к функции $r, r(t)=\dfrac {(2l+1)\pi }k-\dfrac {w(t)}k$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group