Прохождение светом преломляющей поверхности

[illuminates]

Столкнулся со следующей интересной задачкой.
Источник света находится в вакууме (т е показатель преломления =1) над плоской поверхностью
прозрачного вещества с показателем преломления $n > 1$. Найти плотность вероятности случайной величины $\beta β$ - угла преломления луча в прозрачной среде, если все направления лучей от источника в воздухе
равновероятны.

Можно сказать, что при переходе из вакуума в среду новых событий наблюдаться не будет (если не учитывать отражение). Давайте обозначим за угол $i$, угол падения, тогда можно записать: $f(i) \Delta i=f(\beta ) \Delta \beta $
А вот как решать дальше? Или не с этого нужно начинать?

[svv]

$f_i(\alpha)d\alpha=f_r(\beta)d\beta$
$\alpha$ — угол падения
$\beta$ — угол преломления
Оба угла отсчитываются от перпендикуляра к границе раздела сред.
$f_i$ — плотность вероятности случайной величины «угол падения»
$f_r$ — плотность вероятности случайной величины «угол преломления»

(Так будет аккуратнее: $f_i$ — функция, $\alpha$ — её аргумент, число. Функции $f_i$ и $f_r$ — разные функции.)

По закону Снеллиуса $\sin\alpha=n\sin\beta$, откуда
$\cos\alpha\;d\alpha = n\cos\beta\;d\beta$
Используя эту формулу и ту, что в начале, избавьтесь от дифференциалов и выразите $f_r(\beta)$ через $f_i$ от некоторого аргумента.

Имейте в виду: равновероятность всех направлений лучей не означает, что $f_i(\alpha)=\operatorname{const}$.

(Оффтоп)

Если это непонятно, подумайте, что больше — площадь земной поверхности между параллелями 87° и 88° ю.ш. (вблизи Южного полюса) или между 5° и 6° ю.ш. (вблизи экватора).