Свойство многочлена

[Falex]

Есть многочлен $P_m(z) = z^m+ a_{m-1} z^{m-1}+\ldots$, $m \ge 3$.
Пусть данный многочлен является собственным полиномом диф.уравнения

$$ (A_3^{(3)}z^3+ A_2^{(3)}z^2+ A_1^{(3)}z+A_0^{(3)}) \frac{d^3 P(z)}{dz}+ (A_2^{(2)}z^2+ A_1^{(2)}z+A_0^{(2)}) \frac{d^2 P(z)}{dz}+ (A_1^{(1)}z+A_0^{(1)}) \frac{d P(z)}{dz}+ (A_0^{(0)}) P(z) = 0. $$

с собственным значением $A_0^{(0)} = -mA_1^{(1)}-m(m-1)A_2^{(2)}-m(m-1)(m-2)A_3^{(3)}$.
Вопрос такой: что можно сказать о системе $\{P_m(z)\}$. Может она ортогональна с некоторым весом и некоторыми параметрами $A_j^{(k)}$.

[Falex]

Есть какие-нибудь подходы или предложения как проверить?

[Falex]

Для примера уравнения второго порядка можно привести классические ортогональные многочлены. А для третьего интересно существуют такие многочлены?

[Falex]

Я пошел немного по-другому пути.
Взял уравнение 3-ого порядка

$$ (a + bz + cz^2 + dz^3 )y''' + (\alpha + \beta z + \gamma z^2 )y'' + (\delta + \varepsilon z)y' + \lambda y = 0. $$

Если последовательность многочленов $P_0(z),P_1(z),\ldots,P_n(z),\ldots$ удовлетворяет диф.уравнению, то новая последовательность $Q_n(\xi)=P_n(r1+r2 \cdot \xi)$ также будет решением этого диф.уравнения.
Думаю,что надо ограничиться нормальными формами, из которых все другие можно получить путем подходящих линейных трансформаций переменной z. А как эти нормальные формы получить? Надо какие-то параметры диф.уравнения поолжить нулю, а какие-то нет. Как это узнать?И сколько вообще будет нормальных форм?

[Falex]

Никто даже не знает в каких справочниках написано общие решения (полиномиальные) диф.уравнения

$$ (a + bz + cz^2 + dz^3 )y''' + (\alpha + \beta z + \gamma z^2 )y'' + (\delta + \varepsilon z)y' + \lambda y = 0. $$

[Falex]

Ну вообще никто не знает чтоли?

[Алексей К.]

Falex писал(а):

Никто даже не знает в каких справочниках написано общие решения (полиномиальные) диф.уравнения

$$ (a + bz + cz^2 + dz^3 )y''' + (\alpha + \beta z + \gamma z^2 )y'' + (\delta + \varepsilon z)y' + \lambda y = 0. $$

Я диффуров наизусть не знаю. По каким-то туманным соображениям кажется, что об общем решении не стоит и мечтать.

В справочнике Эриха Камке ("Справ. по обыкн. дифф. ур.", изд.6, 2003), в главе VII, состоящей из стр 163 и 164, рассматривается уравнение

$$ y^{\prime\prime\prime} + f_2(x)y^{\prime\prime} + f_1(x)y^{\prime} + f_0(x) y = 0. $$

Сказано, что если $f_2(x)$ интегрируется, то что-то можно сделать...

Справочник мои туманные соображения вроде как подтверждает.

[V.V.]

Falex писал(а):

Никто даже не знает в каких справочниках написано общие решения (полиномиальные) диф.уравнения

$$ (a + bz + cz^2 + dz^3 )y''' + (\alpha + \beta z + \gamma z^2 )y'' + (\delta + \varepsilon z)y' + \lambda y = 0. $$

Насчет справочников не знаю, но есть серия статей В.А. Юмагужина (электронные препринты - на http://diffiety.ac.ru) про интегрируемость линейных уравнений. В том числе, он писал про уравнения третьего порядка.

[Алексей К.]

V.V. писал(а):

на http://diffiety.ac.ru

А проверьте пожалста ссылочку --- не опечатались ли Вы?

[V.V.]

Алексей К. писал(а):

V.V. писал(а):

на http://diffiety.ac.ru

А проверьте пожалста ссылочку --- не опечатались ли Вы?

Нет.

Title: CONTACT CLASSIFICATION OF LINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS.
Author: V.A. YUMAGUZHIN
http://diffiety.ac.ru/preprint/2001/03_01abs.htm
http://diffiety.ac.ru/preprint/2001/05_01abs.htm

Вообще, есть, вроде, какие-то более новые статьи на эту тему...

[Falex]

Явно не то )

Цитата:

Я диффуров наизусть не знаю. По каким-то туманным соображениям кажется, что об общем решении не стоит и мечтать.

Ну хотя бы какие-то решения по типу как в уравнениях 2-ого порядка (полиномы Якоби,Эрмита и т.п.)