теория меры, Интеграл Лебега

[xenich]

Помогите решить 2 задачи, пожалуйста.

1)Определить мощность множества всех последовательностей, члены которых - непрерывные на сегменте [0,1] функции
Решаю так:
Непрерывных функций - континуум, а учитывая что в последовательности не более, чем счётное множество членов - функций, то последовательностей не более, чем континуум - тут вроди бы преподаватель согласен.

Не согласен он вот с чем: Последовательность непрерывных функций, которае сходятся равномерно - сходится к непрерывной. непрерывных функций континуум, значит вышеозначенных последовательностей не менее, чем континуум.

2)Будет ли интегрирована по Лебегу на полуинтервале $(0;1]$ функция $f(t)=1/t$?

Решаю так: зададим срезку функции числом $n$ . Получим последовательность:
$f_n(t)=\begin{cases} n, 0<t<1/n\\ 1/t, 1/n<t<1\\ \end{cases} $
$f_1(t)<=f_2(t)<=...<=f_n(t)$
$\int_{[0;1]}^{} f_n(t)dt=\int_{0}^{1/n} ndt+\int_{1/n}^{1} 1/tdt=nt|^{1/n}_0+lnt|^1_{1/n}=1+\ln 1-\ln 1/n=1+\ln n$
Предела этого интеграла при $n\rightarrow \infty$ не существует, значит функция не интегрируема

Что здесь неверно?

[Nemiroff]

xenich в сообщении #792454 писал(а):

Последовательность непрерывных функций, которае сходятся равномерно - сходится к непрерывной. непрерывных функций континуум, значит вышеозначенных последовательностей не менее, чем континуум.

А вдруг все такие последовательности сходятся к одной и той же непрерывной функции?

[mihailm]

Второй в принципе верен, какие-то формальности опущены. Ну расходится эта последовательность интегралов, по какой теореме, формуле, определению исходный интеграл не существует?
А может надо по определению показать, тогда надо смотреть какое оно определение конкретно у вас на лекциях?

[SpBTimes]

xenich в сообщении #792454 писал(а):

Что здесь неверно?

Вероятно, не написан вывод, почему из этой бесконечности следует, что функция не интегрируема по Лебегу.
Или, быть может, нужно было пользоваться чисто определением? Тогда надо брать простые функции, например $\psi_k(x) = k \cdot \chi_{(\frac{1}{k + 1}, \frac{1}{k})}(x)$, $k \in \mathbb{N}$, $x \in (0; 1]$. Обозначим $f_n(x) = \sum\limits_{k = 1}^n \psi_k$
Тогда, $\int\limits_{(0; 1]}f(x) dx \geqslant \sup\limits_{n} \int_{(0; 1]} f_n(x) dx = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} = +\infty$

[xenich]

со второй вроди бы понято спасибо.

а в первой я имел ввиду вот что: раз непрерывных функций существует континуум, то существует и континуум равномерно сходящихся к ним последовательностей функций. разве это не так?

[SpBTimes]

xenich в сообщении #792471 писал(а):

а в первой я имел ввиду вот что: раз непрерывных функций существует континуум, то существует и континуум равномерно сходящихся к ним последовательностей функций

А почему не больше?

[xenich]

SpBTimes в сообщении #792489 писал(а):

xenich в сообщении #792471 писал(а):

а в первой я имел ввиду вот что: раз непрерывных функций существует континуум, то существует и континуум равномерно сходящихся к ним последовательностей функций

А почему не больше?

может быть и больше, но мне нужна нижняя оценка. верхнюю-то я уже сделал

[SpBTimes]

Тогда все хорошо.