Период малых вертикальных колебаний

[Smoker]

Однородный конус высотой H и плотностью $\gamma_1$ погружен в жидкость плотности $\gamma_2 (\gamma_2>\gamma_1)$, так что его вершина находится на поверхностью жидкости, а основание параллельно этой поверхности. Определить период собственных вертикальных колебаний конуса, пренебрегая сопротивлением жидкости.
Обозначаю погруженную часть как $V_1$ (усеченный конус) с высотой $h$. Смещение за $x$, изменение высоты при *всплывании* конуса h-x.
Равновесие:
$mg=\gamma_2gV_1, V_1=\frac {1}{3}\Pih(R^2+Rr+r^2)$
Далее переходим к динамике:
$mx''=mg-\gamma_2gV_2, V_2=\frac {1}{3}\pi(h-x)(R^2+Rr_1+r_1^2)$
Что делать дальше не знаю, пытался найти $x$ и подставить начальные условия t=0, x'=0, то получается какая то фигня. Пробовал выражать радиусы через тангенс угла у вершины, только толку ноль. Прошу направить в правильное русло, буду премного благодарен.

[arseniiv]

Лучше перейдите от двух радиусов к одному (везде). Объём подводной части — просто разность объёмов всего конуса и надводного конуса. Зачем такие усложнения?

-- Вс ноя 24, 2013 21:15:04 --

Smoker в сообщении #792180 писал(а):

Пробовал выражать радиусы через тангенс угла у вершины, только толку ноль.

Рассеките плавающий конус плоскостью, проходящей через вершину и центр его основания. Посмотрите на подобные прямоугольные треугольники.

[Smoker]

arseniiv в сообщении #792183 писал(а):

Лучше перейдите от двух радиусов к одному (везде). Объём подводной части — просто разность объёмов всего конуса и надводного конуса. Зачем такие усложнения?

Рассеките плавающий конус плоскостью, проходящей через вершину и центр его основания. Посмотрите на подобные прямоугольные треугольники.

1) У меня 3 радиуса (Радиус основания, малый радиус усеченного конуса в положении равновесия и малый радиус при смещении). Я пробовал выразить $\tg\alpha = \frac{R}{H},\tg\alpha = \frac{r}{H-h},\tg\alpha = \frac{r_1}{H-h+x}$, отсюда выражал r и r1 через R, но ни к чему хорошему это меня не привело
2) Проблема не в выражении объемов, а в самом алгоритме решения. Что нужно сделать, чтобы уже найти период? :)

[nikvic]

Smoker в сообщении #792200 писал(а):

Проблема не в выражении объемов, а в самом алгоритме решения.

1/ Для начала - найти массу конуса.
2/ Найти производную силы Архимеда по глубине погружения для положения равновесия. Здесь должны помочь формулы из 1/.
(Для этого достаточно "площади ватерлинии" и плотности воды.)

[Smoker]

nikvic в сообщении #792203 писал(а):

Smoker в сообщении #792200 писал(а):

Проблема не в выражении объемов, а в самом алгоритме решения.

Найти производную силы Архимеда по глубине погружения для положения равновесия.
Для этого достаточно "площади ватерлинии" и плотности воды.

Не особо понял :(
Если принять что V-объем конуса, V1-объем надводной части, V2-объем подводной части
$V_2=V-V_1, V=\frac {1}{3}\pi(R^2)H, V_1=\frac {1}{3}\pi(r^2)(H-h)$
$V_2=\frac {1}{3}\pi(R^2)H-\frac {1}{3}\pi(r^2)H+\frac {1}{3}\pi(r^2)h$
Это будет подводный объем для состояния равновесия, далее конус сместится на $x$ вверх и измениться верхний радиус, и вот из какой высоты вычитать $x$ или из всех и какой радиус менять? Буду очень признателен, если вы напишите хотя бы начало решения, потому что с этим объемом подводной части найденным посредством вычитания объемов я совсем запутался :(