Вертикально стоящий стержень падает.

[Legioner93]

Здравствуйте! "Вертикально стоящий на ровной поверхности стержень длиной $L$ начинает падать от небольшого толчка. Его нижний конец неподвижен. За какое время стержень упадет?". Задача показалась элементарной, но удалось только выйти (если нигде не ошибся) на $g\sin \phi (t)={\phi}^{''} (t) L$, где $\phi (t)$ — угол отклонения стержня от вертикали. Это уравнение верно? Если да, то как его решать? Спасибо.

[lel0lel]

Уравнение движения записано неверно. Похоже, что про момент инерции вы не вспоминали, когда его записывали. Правда, вся неточность сводится к числовым коэффициентам.

Legioner93 в сообщении #327447 писал(а):

Если да, то как его решать?

Решить можно численно, или же оценить время падения.

[ewert]

lel0lel в сообщении #327474 писал(а):

Решить можно численно, или же оценить время падения.

Ну, учитывая, что интеграл там по четвертьпериоду синуса -- он все-таки формально выражается через бета-функцию (т.е. через гамма-функции).

[мат-ламер]

Так ли, что если первоначальное отклонение стремится к нулю, то время падения будет стремиться к бесконечности?

[ewert]

мат-ламер в сообщении #327703 писал(а):

если первоначальное отклонение стремится к нулю, то время падения будет стремиться к бесконечности?

Не будет. Там для времени будет интеграл с корнем из синуса в знаменателе, который сходится.

[Padawan]

ewert в сообщении #327722 писал(а):

мат-ламер в сообщении #327703 писал(а):

если первоначальное отклонение стремится к нулю, то время падения будет стремиться к бесконечности?

Не будет. Там для времени будет интеграл с корнем из синуса в знаменателе, который сходится.

Не верю!
У меня получилось, что время падения стержня при начальной скорости $\omega_0$ будет

$$ T(\omega_0)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\varphi}{\sqrt{\omega_0^2+2k(1-\cos\varphi)}} $$

где $k=\frac{g}{L}$ или какой там правильный коэффициент.
При $\omega_0=0$ этот интеграл расходится.

[lel0lel]

Да, если начальная угловая скорость равна нулю, то и падать он будет бесконечно долго, т.е. не будет падать. В задачке ещё нужны данные.

[masha93]

Ребят, я понимаю, что вы, видимо, очень шарите. Но можно решение подробнее расписать, заранее благодарна)

[Munin]

ewert в сообщении #327509 писал(а):

Ну, учитывая, что интеграл там по четвертьпериоду синуса -- он все-таки формально выражается через бета-функцию (т.е. через гамма-функции).

Для физики достаточно пренебречь той частью падения, которая происходит вдали от вертикального положения. Получается задача скатывания с вершины параболического холма.

[Oleg Zubelevich]

мат-ламер в сообщении #327703 писал(а):

Так ли, что если первоначальное отклонение стремится к нулю, то время падения будет стремиться к бесконечности?

да так, и вообще, по сепаратрисе движение к неустойчивому положению равновесия происходит бесконечно долго

-- Вс ноя 24, 2013 19:01:31 --

Legioner93 в сообщении #327447 писал(а):

Его нижний конец неподвижен.

если бы не это условие ,то в задаче было бы что обсуждать

Padawan рад Вас видеть ,думал Вы исчезли навсегда

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #792211 писал(а):

да так, и вообще, по сепаратрисе движение к неустойчивому положению равновесия происходит бесконечно долго

А вот это не всегда так, и странно, что вы, с вашей нездоровой страстью к математически строгим оговоркам, этого не заметили.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #792225 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #792211 писал(а):

да так, и вообще, по сепаратрисе движение к неустойчивому положению равновесия происходит бесконечно долго

А вот это не всегда так,

Опять чушь говорите.

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #792251 писал(а):

Опять чушь говорите.

Ну хорошо, подожду, пока вы вспомните.

[Oleg Zubelevich]

а что мне вспоминать? я определение сепаратрисы знаю

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #792347 писал(а):

у хорошо, подожду, пока вы вспомните.

ну подождали, я не вспомнил и вспоминать не собираюсь, дальше что? Очередное "откровение" последует или не последует?