Раскрыть сумму

[qx87]

$\sum\limits_{h=1}^n {h \over 2^h}$

WolframAlpha выдал ответ: $2 - {n +2 \over 2^n}$.

Эта сумма довольно быстро сходится к двойке: при подсчёте на компьютере уже с 26-го её члена выводится число 2.000000.

И Wolfram не показывает, как он это вывел. Сам догадаться не могу. Есть идеи?

Вообще, часто обламываюсь с задачами на сумму. Есть ли какая-то "теория крутого выведения любых сумм" или каждую из них приходится решать по-новому?

[Whitaker]

Положим, что $x=\frac{1}{2}$, тогда Ваша сумма есть $\sum \limits_{k=1}^{n}kx^k=x(1+2x+\dots+nx^{n-1})=x(x+x^2+\dots+x^n)'$

[provincialka]

Конечные суммы чаще каждую в отдельности. Для этой конкретной суммы есть куча методов, например, догадаться и проверить индукцией. Или разбить числитель на отдельные единицы и складывать герм. прогрессии. Или вывести рекуррентную формулу.
Но, пожалуй, проще всего ввести переменную $x=\frac12$.
О, этот метод уже предложили.

-- 23.11.2013, 00:05 --

Whitaker, вы не слишком откровенно подсказываете? Можно было бы как-то завуалировать.

[_Ivana]

А если прямым методом, то у вас там конечная сумма, распишите ее по слагаемым, приведите к общему знаменателю, перегруппируйте слагаемые числителя в несколько геометрических прогрессий и получите результат.

ЗЫ пока писал, уже предложили.

[SpBTimes]

А можно написать, что $h = (2(h-1) - h) + 2$

[qx87]

Всем спасибо, получилось!