Помогите разобраться с определением нормы

[netivise]

Определение:
$E^p_{n}$ - пространство $n$-мерных векторов $x = (x_{1}, ..., x_{n})$ с нормой
$||x|| = (\sum_{i=1}^n |x_{k}|^p)^{1/p}$

Помогите правильно понять определение. x в данном случае это перечисление векторов, или это один единственный вектор, состоящий из компонент x_{1}, ..., x_{n} - по сути чисел? Или же каждая из компонент x_{1},...,x_{n} также представляет собой вектор?
$|x_{k}|$ под знаком суммы - это вектор или число? Если число, то оно просто берётся по модулю. Если вектор, то модуль обозначает длину вектора $x_{k}$ (который состоит из компонент $x_{k1}, ..., x_{kn}$)?

[Urnwestek]

$x_k$ число, точнее, $k$-ая координата вектора $x$, а вот $x$ вектор.

[netivise]

Получается, что пространство векторов здесь совершенно не важно, если при поиске нормы используется только один непонятный вектор из этого пространства, и по нему ищется норма по всему пространству... не вяжется что-то.

[svv]

Может, Вы поняли «пространство векторов с нормой» как
(пространство векторов) с нормой?
А надо так:
пространство (векторов с нормой).

Ну, то есть норма у каждого вектора, а не у всего пространства.

[mihailm]

netivise в сообщении #791477 писал(а):

Получается, что пространство векторов здесь совершенно не важно, если при поиске нормы используется только один непонятный вектор из этого пространства, и по нему ищется норма по всему пространству... не вяжется что-то.

Ну раз получается, то найдите норму вектора (1,2,3,4) в пространстве $E^3_4$

[Ms-dos4]

netivise
Нескромный вопрос - вы представляете себе, что такое норма?

[netivise]

svv, Вы правы. Понял именно так.. как всегда неправильно .
mihailm, посчитал, разобрался.

(Оффтоп)

$100^{1/3}$

Смысла, как обычно, так и не понял. Если есть вектор $x = (1,2,3)$ в трёхмерном пространстве, то что показывает его норма? И что меняется от выбора числа $p$, кроме конечного числового результата...
Ms-dos4, только формальное определение. Представить, для чего это нужно, не могу.

[Dan B-Yallay]

mihailm в сообщении #791483 писал(а):

Ну раз получается, то найдите норму вектора (1,2,3,4) в пространстве $E^3_4$

Если я правильно понимаю ход мыслей ТС, то он ответит

$$||(1,2,3,4)||=\left(\sum\limits_{i=1}^{4}|x_i|^3\right)^{1/3}$$

-- Пт ноя 22, 2013 12:39:47 --

netivise в сообщении #791485 писал(а):

Если есть вектор $x = (1,2,3)$ в трёхмерном пространстве, то что показывает его норма?

Норма - это обобщение длины. При $p=2$ норма - это в точности евклидова длина вектора.

[Urnwestek]

netivise в сообщении #791485 писал(а):

Ms-dos4, только формальное определение. Представить, для чего это нужно, не могу.

Это некоторое обобщения понятия «длины вектора». Ведь пространство — это не только $\mathbb{R}^3$, а ещё и всякие другие есть. А если есть норма, то она сразу индуцирует и метрику (аналог расстояния между точками) и топологию (аналог «эпсилон-окрестностей» точки) и ещё кучу всего, так что пространства с нормой — очень хорошие и про них можно сразу кучу всего содержательного сказать.