Подстановки Эйлера (Зорич V.7.3)

[Urnwestek]

а) Проверьте, что интеграл вида $\int R(x,\sqrt{ax^2 + bx + c})dx$ приводится к интегралу от рациональной функции следующими подстановками Эйлера

$$t = \sqrt{ax^2 + bx + c} \pm \sqrt{a}x, a>0$$

$$t = \sqrt{\frac{x - x_1}{x - x_2}}$$

если $x_1, x_2$ — действительные корни трёхчлена $ax^2 + bx + c$.
б) Пусть $(x_0,y_0)$ — точка кривой $y^2 = ax^2 +bx + c$, а $t$ — угловой коэффициент прямой, проходящей через точку $(x_0,y_0)$ и пересекающей кривую в некоторой точке $(x,y)$. Выразите координаты $(x,y)$ через $(x_0,y_0)$ и $t$ и свяжите эти формулы с подстановками Эйлера.
в) Кривая, задаваемая алгебраическим уравнением $P(x,y) = 0$, называется уникурсальной кривой, если она допускает параметрическую запись $x = x(t), y = y(t)$ при помощи рациональных функций $x(t),y(t)$. Покажите, что интеграл $\int R(x,y(x))dx$, где $R(u,v)$ — рациональная функция, а $y(x)$ — алгебраическая функция, удовлетворяющая уравнению $P(x,y) = 0$, задающему уникурсальную кривую, приводится к интегралу от рациональной функции.

а) Подставил, получил:

$$t = \sqrt{ax^2 + bx + c} \pm \sqrt{a}x, x = \frac{c - t^2}{\mp 2t\sqrt{a} - b}, y = t \mp \sqrt{a}\frac{c - t^2}{\mp 2t\sqrt{a} - b}, a>0$$

$$t = \sqrt{\frac{x - x_1}{x - x_2}}, x = \frac{t^2 x_2 - x_1}{t^2 -1}, y = \sqrt{a} \frac{t(x_2 - x_1)}{t^2 -1}$$

В силу того, что композиция, произведения рациональных функций — рациональная функция, а также производная рациональной функции — рациональная функция и получаем исходное утверждение.
б)

$$ t = \frac{y - y_0}{x - x_0}$$

$$x = x_0\frac{t^2 + a}{t^2 - a} + \frac{b - 2ty_0}{t^2 - a}$$

$$y = -y_0\frac{t^2 + a}{t^2 - a} + \frac{2atx_0 + bt}{t^2 - a}$$

Если положить $y_0 = 0$, $b = -a(x_0 + x_1)$, $\sqrt{a} q = t$ то после элементарных преобразований получим вторую подстановку Эйлера (относительно q).
в) А вот тут мне вообще непонятно что делать. С одной стороны, если считать, что у нас эти $x(t)$ и $y(t)$ даны, то утверждение почти тривиально: $x(y(t))$ — композиция рациональных функций, и, следовательно $R(x(t),y(x(t)))$ — тоже композиция рациональных функций, после того, как сделаем $dx = \dot{x}dt$ и получим интеграл от рациональной функции (зачем тогда условие $P(x,y) = 0$).
Если считать, что у нас этих $x(t)$, $y(t)$, нету, то непонятно как связать решение с условием уникурсальности. Как быть?

[Otta]

Urnwestek в сообщении #790559 писал(а):

$x(y(t))$ — композиция рациональных функций,

Почему? $y(t)$ рациональна, обязательно ли рациональна $x(y)$?

[Urnwestek]

Otta в сообщении #792713 писал(а):

Почему? $y(t)$ рациональна, обязательно ли рациональна $x(y)$?

Я вообще имел в виду $y(x)$ но сути это, конечно, не меняет. Действительно не так всё очевидно как я думал, $y$ от $x$ зависит не так, как $y$ от $t$.